Liczby Bernoulliego
Liczby Bernoulliego to liczby pojawiające się jako współczynniki w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

Mówiąc po ludzku, rozważamy wzory do obliczania sumy n kolejnych liczb (zaczynając od 0) podniesionych do potęgi m
Dla n = 5





Uogólniając:

Liczby Bernoulliego są współczynnikami stojącymi przy liczbie n1 rozwinięcia:

Uwagi
- Wszystkie liczby Bernoulliego, z wyjątkiem dla n = 0 są liczbami wymiernymi niecałkowitymi.
- Liczby Bernoulliego dla liczb nieparzystych n > 1 są równe 0.
Liczby Bernoulliego mają rozliczne zastosowania. Najlepiej zrobisz wyszukując w Internecie 'Bernoullli number wiki', gdzie znajduje się największa liczba informacji o liczbach Bernoulliego.
Istnieje kilkadziesiąt wzorów pozwalających na obliczanie liczb Bernoulliego. Moim zdaniem najlepszy i najprostszy jest wzór:

| n | Bn |
|---|---|
| 0 | 1 / 1 |
| 1 | -1 / 2 |
| 2 | 1 / 6 |
| 4 | -1 / 30 |
| 6 | 1 / 42 |
| 8 | -1 / 30 |
| 10 | 5 / 66 |
| 12 | -691 / 2730 |
| 14 | 7 / 6 |
| 16 | -3617 / 510 |
| 18 | 43867 / 798 |
| 20 | -174611 / 330 |
| 22 | 854513 / 138 |
| 24 | -236364091 / 2730 |
| 26 | 8553103 / 6 |
| 28 | -23749461029 / 870 |
| 30 | 8615841276005 / 14322 |
| 32 | -7709321041217 / 510 |
| 34 | 2577687858367 / 6 |
| 36 | -26315271553053477373 / 1919190 |
| 38 | 2929993913841559 / 6 |
| 40 | -261082718496449122051 / 13530 |
| 42 | 1520097643918070802691 / 1806 |
| 44 | -27833269579301024235023 / 690 |
| 46 | 596451111593912163277961 / 282 |
| 48 | -5609403368997817686249127547 / 46410 |
| 50 | 495057205241079648212477525 / 66 |
| 52 | -801165718135489957347924991853 / 1590 |
| 54 | 29149963634884862421418123812691 / 798 |
| 56 | -2479392929313226753685415739663229 / 870 |
| 58 | 84483613348880041862046775994036021 / 354 |
| 60 | -1215233140483755572040304994079820246041491 / 56786730 |
| 62 | 12300585434086858541953039857403386151 / 6 |
| 64 | -106783830147866529886385444979142647942017 / 510 |
| 66 | 1472600022126335654051619428551932342241899101 / 64722 |
| 68 | -78773130858718728141909149208474606244347001 / 30 |
| 70 | 1505381347333367003803076567377857208511438160235 / 4686 |
| 72 | -5827954961669944110438277244641067365282488301844260429 / 140100870 |
| 74 | 34152417289221168014330073731472635186688307783087 / 6 |
| 76 | -24655088825935372707687196040585199904365267828865801 / 30 |
| 78 | 414846365575400828295179035549542073492199375372400483487 / 3318 |
| 80 | -4603784299479457646935574969019046849794257872751288919656867 / 230010 |
| 82 | 1677014149185145836823154509786269900207736027570253414881613 / 498 |
| 84 | -2024576195935290360231131160111731009989917391198090877281083932477 / 3404310 |
| 86 | 660714619417678653573847847426261496277830686653388931761996983 / 6 |
| 88 | -1311426488674017507995511424019311843345750275572028644296919890574047 / 61410 |
| 90 | 1179057279021082799884123351249215083775254949669647116231545215727922535 / 272118 |
| 92 | -1295585948207537527989427828538576749659341483719435143023316326829946247 / 1410 |
| 94 | 1220813806579744469607301679413201203958508415202696621436215105284649447 / 6 |
| 96 | -211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259 / 4501770 |
| 98 | 67908260672905495624051117546403605607342195728504487509073961249992947058239 / 6 |
| 100 | -94598037819122125295227433069493721872702841533066936133385696204311395415197247711 / 33330 |
| 102 | 3204019410860907078243020782116241775491817197152717450679002501086861530836678158791 / 4326 |
| 104 | -319533631363830011287103352796174274671189606078272738327103470162849568365549721224053 / 1590 |
| 106 | 36373903172617414408151820151593427169231298640581690038930816378281879873386202346572901 / 642 |
| 108 | -3469342247847828789552088659323852541399766785760491146870005891371501266319724897592306597338057 / 209191710 |
| 110 | 7645992940484742892248134246724347500528752413412307906683593870759797606269585779977930217515 / 1518 |
| 112 | -2650879602155099713352597214685162014443151499192509896451788427680966756514875515366781203552600109 / 1671270 |
| 114 | 21737832319369163333310761086652991475721156679090831360806110114933605484234593650904188618562649 / 42 |
| 116 | -309553916571842976912513458033841416869004128064329844245504045721008957524571968271388199595754752259 / 1770 |
| 118 | 366963119969713111534947151585585006684606361080699204301059440676414485045806461889371776354517095799 / 6 |
| 120 | -51507486535079109061843996857849983274095170353262675213092869167199297474922985358811329367077682677803282070131 / 2328255930 |
| 122 | 49633666079262581912532637475990757438722790311060139770309311793150683214100431329033113678098037968564431 / 6 |
| 124 | -95876775334247128750774903107542444620578830013297336819553512729358593354435944413631943610268472689094609001 / 30 |
| 126 | 5556330281949274850616324408918951380525567307126747246796782304333594286400508981287241419934529638692081513802696639 / 4357878 |
| 128 | -267754707742548082886954405585282394779291459592551740629978686063357792734863530145362663093519862048495908453718017 / 510 |
| 130 | 1928215175136130915645299522271596435307611010164728458783733020528548622403504078595174411693893882739334735142562418015 / 8646 |
| 132 | -410951945846993378209020486523571938123258077870477502433469747962650070754704863812646392801863686694106805747335370312946831 / 4206930 |
| 134 | 264590171870717725633635737248879015151254525593168688411918554840667765591690540727987316391252434348664694639349484190167 / 6 |
| 136 | -84290226343367405131287578060366193649336612397547435767189206912230442242628212786558235455817749737691517685781164837036649737 / 4110 |
| 138 | 2694866548990880936043851683724113040849078494664282483862150893060478501559546243423633375693325757795709438325907154973590288136429 / 274386 |
| 140 | -3289490986435898803930699548851884006880537476931130981307467085162504802973618096693859598125274741604181467826651144393874696601946049 / 679470 |
| 142 | 14731853280888589565870080442453214239804217023990642676194878997407546061581643106569966189211748270209483494554402556608073385149191 / 6 |
| 144 | -3050244698373607565035155836901726357405007104256566761884191852434851033744761276392695669329626855965183503295793517411526056244431024612640493 / 2381714790 |
| 146 | 4120570026280114871526113315907864026165545608808541153973817680034790262683524284855810008621905238290240143481403022987037271683989824863 / 6 |
| 148 | -1691737145614018979865561095112166189607682852147301400816480675916957871178648433284821493606361235973346584667336181793937950344828557898347149 / 4470 |
| 150 | 463365579389162741443284425811806264982233725425295799852299807325379315501572305760030594769688296308375193913787703707693010224101613904227979066275 / 2162622 |