Projekt okładki i stron tytułowych Andrzej Przygodzki

Redaktor Małgorzata Kopczyńska

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2002

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2002 r., (wyd. I)

Warszawa 2021

ISBN 978-83-01-21642-9

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288

infolinia 801 33 33 88

e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl

www.pwn.pl

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN: mobisfera.pl

Spis treści

ROZDZIAŁ 1. Teoria chaosu – od prostoty do złożoności

Wstęp

Ukryta rewolucja

Kłopoty ze złożonością

Przede wszystkim upraszczaj

Teoria Układu Słonecznego

Niestabilność, ergodyczność, statystyka

Turbulencja

Bariera nieliniowości

Niespodzianki nieliniowości

Nieoczekiwany sprzymierzeniec

Kalendarium

ROZDZIAŁ 2. Układy dynamiczne i teoria ergodyczna

Przestrzeń fazowa

Entropia

Układy ergodyczne

Entropia metryczna Kołmogorowa

Wykładniki Lapunowa

Ergodyczność, niestabilność, własności statystyczne

ROZDZIAŁ 3. Dynamika nieliniowa

Nieliniowość

Atraktor

Bifurkacje Feigenbauma

Stałe Feigenbauma, uniwersalność

Bifurkacja Hopfa

Równania i atraktor Lorenza, efekt motyla

Przekrój Poincarégo

Odwzorowanie i atraktor Hénona

Układ i atraktor Rösslera

Chaos deterministyczny – występowanie i wykrywanie w procesach przyrody

Transformacja piekarza

Podkowa Smale’a

Komórki Bénarda

Reakcja Biełousowa–Żabotyńskiego

Solitony

Scenariusze przejścia do chaosu

Sterowanie chaosem

ROZDZIAŁ 4. Fraktale

Geometria fraktali

Układ iterowanych odwzorowań

Wymiar

Najbardziej znane fraktale

Krzywe wypełniające płaszczyznę

Fraktale w przyrodzie

Zbiór Mandelbrota

Literatura

ROZDZIAŁ 1 Teoria chaosu – od prostoty do złożoności

Wstęp

Szerokie zainteresowanie teorią chaosu zaczęło się kilkanaście lat temu i wciąż jest duże. Wynika ono przede wszystkim z faktu, że teoria ta jest nowym, efektywnym podejściem do naukowego opisu złożonych układów fizycznych i społecznych, które do niedawna były zbyt skomplikowane, by można było poznać je w precyzyjny, naukowy sposób. Skuteczność stosowania pojęć i metod teorii chaosu do analizy stale rosnącego kręgu zjawisk, badanych przez prawie wszystkie nauki empiryczne, od astronomii i chemii poczynając, a na medycynie, socjologii i ekonomii kończąc, powoduje, że stykają się z nią badacze o różnorodnym wykształceniu oraz zróżnicowanym poziomie znajomości matematyki i nauk ścisłych. Ludzie ci znają przeważnie pewne klasyczne działy matematyki, potrzebne im do pracy, takie jak na przykład rachunek różniczkowy i całkowy oraz algebrę, które należą do tradycyjnego wykształcenia uniwersyteckiego na wydziałach technicznych, przyrodniczych i społecznych, a chcieliby poznać, nie studiując dokładnie pewnych abstrakcyjnych teorii matematycznych, podstawy teorii chaosu w stopniu wystarczającym do jej skutecznego stosowania w swojej dziedzinie badań. Nie jest to niestety zadanie łatwe, ponieważ brak podręczników dla tej grupy czytelników. Brak ten wynika z dwóch przyczyn.

Po pierwsze, teoria chaosu, wbrew swojej nazwie, nie jest wcale teorią naukową w tradycyjnym sensie, taką jak teoria ewolucji, teoria cząstek elementarnych, teoria struktur społecznych, czy teorie ekonomiczne. Jest to raczej szeroki front badawczy, o bardzo zróżnicowanych metodach i grupach zagadnień. Z tego powodu książki, w których tytule występuje termin „teoria chaosu”, są często poświęcone różnym problemom. Czy można napisać jedną książkę przydatną dla przedstawicieli tak wielu różniących się nauk? Autor tej książki jest przekonany, że jest to możliwe, jeżeli przyjmie się, iż wspólne dla wszystkich zastosowań teorii chaosu są pewne wyniki i pojęcia rodem z matematyki i nauk empirycznych, takie jak atraktor, bifurkacja, entropia, fraktal. Pojęcia te są powszechnie stosowane, a niektóre z nich przeszły nawet do języka potocznego. Tak więc można wyodrębnić wiedzę, która stanowi jądro omawianej teorii i bez której nie można teorii chaosu ani zrozumieć, ani stosować.

Powyższe stwierdzenie nie jest oryginalnym odkryciem, ponieważ napisano wiele książek, których celem jest wyjaśnienie istoty teorii chaosu. Jednak w tym miejscu daje o sobie znać druga przyczyna braku monografii zrozumiałych dla szerokiego kręgu czytelników, a jednocześnie odpowiednio precyzyjnych i utrzymanych na przyzwoitym poziomie matematycznym. Można ją określić jako pesymistyczne podejście znawców tej teorii do zdolności matematycznych ich potencjalnych czytelników. Sądząc po wydanych dotychczas książkach, ich autorzy zakładają, że tylko wąska i wyspecjalizowana grupa czytelników może dogłębnie zrozumieć teorię, natomiast pozostałym trzeba ją tłumaczyć w sposób powierzchowny i poglądowy, chociaż często bardzo dowcipny i ciekawy. W związku z tym o teorii chaosu traktują albo zaawansowane monografie przeznaczone dla matematyków, fizyków, chemików itp., albo popularne opracowania dla wszystkich, nie wymagające od czytelnika wiedzy matematycznej.

Autor niniejszej książki wierzy, że możliwa jest droga pośrednia; że jest pewna grupa ludzi pracujących w różnych działach nauk przyrodniczych, technicznych i społecznych, którzy chcą i mogą bez zbytniego wysiłku zrozumieć najważniejsze pojęcia, wyniki i metody teorii chaosu na poziomie pozwalającym zarówno na korzystanie z tej teorii we własnej pracy naukowej, jak i na dalsze, bardziej zaawansowane matematycznie studiowanie samej teorii. Oczekuję, że Czytelnik nie boi się matematyki i chce, gdy zajdzie potrzeba, śledzić pewne dosyć abstrakcyjne rozważania, które pozwolą lepiej zrozumieć złożone procesy zachodzące w przyrodzie lub w społeczeństwie.

Książka składa się z czterech rozdziałów. Pierwszy omawia w popularny sposób historyczne źródła i najważniejsze pojęcia teorii chaosu. Pozostałe rozdziały są poświęcone pogłębionej prezentacji teorii układów dynamicznych, dynamice nieliniowej i teorii fraktali. Są one napisane tak, by można było je czytać w miarę niezależnie od siebie, a poszczególne zagadnienia są opracowane w postaci krótkich, zwartych paragrafów. Jest oczywiste, że zarówno interpretacja istotnych składników i struktury pojęciowej teorii chaosu, jak i dobór problemów uznanych za najważniejsze, mają charakter subiektywny i są wyrazem zainteresowań oraz wiedzy autora.

Ukryta rewolucja

Pod koniec 1999 roku angielski tygodnik Time poprosił czytelników, by dokonali wyboru osoby, która ich zdaniem miała największy wpływ na rozwój ludzkości w XX stuleciu. W tej ankiecie pierwsze miejsce zajął wybitny fizyk Albert Einstein, twórca szczególnej i ogólnej teorii względności. Czytelnicy Time’a mieli trudne zadanie, ponieważ mijające stulecie było okresem głębokich przemian naukowych, kulturalnych i społecznych, dlatego wybór Einsteina można potraktować jako wyraz pewnych powszechnych poglądów na rolę i istotę nauki. Poglądy te można podsumować w trzech punktach:

1. Nauka jest najważniejszym czynnikiem zmian cywilizacyjnych, zachodzących w ciągu ostatnich stuleci w skali całego globu. Jest to zrozumiałe, ponieważ w wyniku rozwoju nauki i coraz lepszego poznawania świata rozwija się technika, stanowiąca główne narzędzie praktycznego opanowania i kontrolowania świata przyrody. Europejczycy, wykorzystując przewagę, jaką dała im nauka i technika, podbili znaczną część świata, a narody, które chciały skutecznie im się oprzeć, na przykład Japończycy i Chińczycy, musiały dorównać Europejczykom poziomem nauki i odpowiednio przekształciły swoje społeczeństwa.

2. Spośród wielu dziedzin wiedzy najważniejsze są pod tym względem nauki przyrodnicze, a zwłaszcza podstawowa dziedzina tych nauk – fizyka. To w fizyce dokonał się największy postęp poznawczy i to ona doprowadziła do powstania najważniejszych technologii dwudziestego wieku – energetyki jądrowej, elektroniki, komputerów i laserów. Okresem największej fascynacji fizyką były lata po II wojnie światowej, gdy z jednej strony trwał wyścig zbrojeń jądrowych i groziła ludzkości wojna atomowa, a z drugiej powstawały pierwsze elektrownie jądrowe, które w tym okresie wydawały się niewyczerpanym źródłem energii.

Dominacja fizyki w gronie nauk przyrodniczych nie jest wcale rzeczą nieuniknioną ani oczywistą. Po pierwsze, ogromny postęp dokonał się w chemii i przemyśle chemicznym, o czym mówi się stosunkowo mało, rozważając rolę nauki w nowoczesnym społeczeństwie. Po drugie, w ostatnim okresie zainteresowanie fizyką znacznie zmalało. Ludzie przyzwyczaili się do najnowszych wynalazków i osiągnięć technicznych, a nauką wiodącą pod względem poznawczym i technicznym stała się biologia. Lasery, czarne dziury i kwarki już nam spowszedniały, a pasjonujemy się badaniami genomu ludzkiego, klonowaniem i biotechnologią. Z rozwojem tych dziedzin wiąże się ogromne nadzieje i oczekiwania na doskonalsze metody walki z chorobami i stworzenie nowego typu rolnictwa, wykorzystującego zmiany genetyczne celowo spowodowane przez ludzi u gatunków stanowiących źródła żywności.

3. Rozwój fizyki w ostatnim stuleciu przebiegał w sposób rewolucyjny, doprowadzając do głębokich zmian klasycznego obrazu świata materii. Nowe teorie powstałe na początku dwudziestego wieku pokazały świat zjawisk dawniej nieznanych i całkowicie odmiennych od tego, co znamy z codziennego doświadczenia. Symbolem tych zmian stał się Albert Einstein, ekscentryczny geniusz, który swoje najważniejsze prace napisał jako nieznany urzędnik biura patentowego.

Ten ostatni punkt omówimy trochę dokładniej, ponieważ przekonanie o rewolucyjnym charakterze rozwoju nauki miało istotny wpływ na nasze spojrzenie na naukę: zmieniło stosunek uczonych do ich pracy, stało się ważnym elementem filozoficznego podejścia do nauki i ukształtowało oczekiwania społeczne. Jednym słowem, powszechnie oczekuje się, że fizyka jako nauka podstawowa, która odkryła dotychczas tak dużo dziwnych zjawisk, sprawi w przyszłości wiele niespodzianek, tworząc teorie jeszcze mniej zrozumiałe od mechaniki kwantowej i ogólnej teorii względności. Do takiego obrazu możliwości i przyszłości fizyki przyczyniają się sami jej twórcy, którzy mając silne poczucie kryzysu panującego w tej nauce, mają nadzieję na jego przezwyciężenie dzięki sformułowaniu nowej rewolucyjnej teorii podstawowej, łączącej fizykę kwantową z teorią względności. Wszystkie próby połączenia tych teorii były dotąd nieudane, dlatego, jak to ujął Niels Bohr, trzeba czekać na nową teorię „wystarczająco zwariowaną”.

Taki obraz rozwoju podstawowych nauk przyrodniczych, zdominowany przez koncepcję gwałtownych rewolucji, które burzą stary obraz świata i budują nowy, jest oczywiście jednostronny, ponieważ destrukcyjne działanie rewolucji musi być skompensowane przez konstruktywny wysiłek okresów, w których porządkuje się i precyzuje wiedzę mieszczącą się w uznanych schematach. Takie okresy, nazwane „nauką normalną” przez twórcę koncepcji rewolucji naukowych Thomasa Kuhna [14], przeważają w rozwoju nauki i głównie im nauka zawdzięcza swoje wyniki. Tak więc mamy w filozoficznym obrazie nauki opozycję rewolucja naukowa – nauka normalna, która przez około dwadzieścia lat stanowiła główny przedmiot dyskusji i badań filozoficznych. Obraz fizyki jako nauki rewolucyjnej utrwalił się w świadomości społecznej, czego wyrazem był wybór Einsteina jako symbolu najnowszej historii.

Nauka jest jednak bogata i rozległa, dlatego nie mieści się w takich schematach i wymaga ciągłego ich wzbogacania. Zastanawiając się nad powyższą opozycją, możemy postawić pytanie: Czy każde istotne i głębokie zmiany podstawowych koncepcji muszą zawsze zachodzić w krótkim czasie w sposób gwałtowny? Przecież poglądy jednostek lub grup społecznych często zmieniają się w sposób stopniowy, prowadząc w dłuższym okresie do ważnych zmian. Chyba każdemu zdarza się od czasu do czasu, że przypominając sobie przeszłość i porównując ją ze stanem aktualnym, stwierdza, iż niepostrzeżenie zmienił poglądy i ze zdumieniem pyta, kiedy właściwie zaszła ta zmiana. Podobnie jest w nauce. Stare teorie, powszechnie uznane i rozwijane, wcale nie są niezmienne. Przykładem może być teoria ewolucji Darwina, która w ciągu 150 lat swego istnienia zmieniała się i w obecnej postaci mało przypomina swoją pierwotną wersję. Najważniejsze jest jednak to, że główne idee tej teorii pozostały te same, dzięki czemu można mówić o rozwoju jednej teorii. Znacznie ciekawsza jest sytuacja taka, że rozwój jakiejś dziedziny nauki prowadzi do ważnych zmian jej podstawowych pojęć i w rezultacie staje się ona teorią o innym sposobie opisu zjawisk.

Teoria chaosu, której poświęcona jest nasza książka, jest przykładem takiego sposobu rozwoju nauki. Jest ona nowym, specyficznym i bardzo efektywnym podejściem do złożonych zjawisk badanych przez prawie wszystkie działy nauki, które doprowadziło do ogromnego postępu w poznawaniu przyrody, wytworzyło własny system pojęć i metod i stało się jednym z najważniejszych kierunków rozwoju nauki w ostatnich trzydziestu latach. Zwolennicy tej teorii uważają ją często za teorię rewolucyjną, stawiając na równi z dwoma wspomnianymi rewolucjami, które zaszły w fizyce: relatywistyczną i kwantową. Niezależnie od oceny znaczenia teorii chaosu i jej wpływu na obecną naukę, od tych dwóch rewolucji odróżnia ją ważna cecha, mianowicie powstawała ona i rozwijała się w długim czasie i nigdy nie przeżywała okresu gwałtownych zmian, charakterystycznych dla typowych rewolucji naukowych. Ocena, czy jest to rzeczywiście rewolucja naukowa o globalnym zasięgu, to zagadnienie filozoficzne, którym nie będziemy się w tej książce zajmować, zainteresowanego Czytelnika odsyłając do innych książek autora [29, 30]. Najpierw musimy zastanowić się nad tym, jak powstawała teoria chaosu i jaki jest jej stan obecny. Zaczniemy od podstawowego pytania: czym naprawdę zajmuje się ta teoria, co nowego mówi o świecie?

Kłopoty ze złożonością

Chociaż teoria chaosu jest bardzo popularna i korzysta się z niej w wielu dziedzinach wiedzy, odpowiedź na pytanie o jej istotę i podstawową dziedzinę badawczą nie jest wcale łatwa. Trudność ta wynika z rozmytego charakteru tej teorii. Charakteryzując jakąś teorię empiryczną lub dziedzinę naukową, mamy w zasadzie do wyboru trzy drogi. Możemy po pierwsze powiedzieć, jakie przedmioty bada. Na przykład obszarem zainteresowania zoologii są zwierzęta, a botaniki – rośliny. Działów nauki wyodrębnionych na podstawie badanych przez nie obiektów określonej klasy jest w nauce chyba najwięcej. W ich nazwach występują określone rodzaje ciał: fizyka ciała stałego, teoria cząstek elementarnych lub jądra, dynamika gwiazd, anatomia człowieka, chemia koloidów itp. Druga możliwość to taka, że dana nauka bada pewien określony rodzaj zjawisk: termodynamika bada procesy cieplne, elektrodynamika – zjawiska elektryczne i magnetyczne, a hydrodynamika – procesy dynamiczne przebiegające w cieczach i gazach. I wreszcie ostatni rodzaj dziedziny naukowej jest określony przez pewne własności ciał, takie jak sprężystość, własności elektryczne, barwy itp. Powyższe trzy rodzaje teorii nie tworzą logicznego podziału nauki na odrębne dziedziny. Istnieją oczywiście teorie należące do dwóch lub trzech typów, badające ciała i ich określone własności lub ciała, procesy zachodzące z ich udziałem i własności odgrywające rolę w tych procesach. W każdym razie dobrze rozwinięte i ustabilizowane działy nauk przyrodniczych mają zwykle precyzyjnie określony zakres badań. Nie można niestety powiedzieć tego o teorii chaosu. Przy próbie określenia jej zakresu pojawiają się poważne trudności.

Pierwsza trudność wynika z uniwersalności tej teorii. Trudno jest znaleźć obecnie taki dział nauk przyrodniczych, technicznych czy społecznych, w którym nie byłyby stosowane pojęcia i metody teorii chaosu. Stała się ona ważnym elementem rozwoju najrozmaitszych gałęzi nauki, poczynając od teorii podstawowych, takich jak teoria jądra atomowego, chemia fizyczna, optyka, a kończąc na badaniach populacji zwierzęcych, procesów społecznych i Układu Planetarnego. Uniwersalność i skuteczność jej pojęć oraz metod jest źródłem rozwoju całej nauki i czynnikiem integrującym naukowy obraz świata. Z tego powodu niektórzy zwolennicy teorii chaosu widzą w niej nowy paradygmat całej nauki, znacznie bardziej uniwersalny od podstawowych teorii fizyki.

Uniwersalność nie pozbawia teorii naukowej jej dziedziny specyficznej, czego dowodem jest mechanika kwantowa. Stosuje się ją w wielu działach fizyki i chemii, lecz przedmiotem jej zainteresowania są atomy i ich składniki. Teoria chaosu nie ma swoich „własnych” obiektów ani zjawisk, jeżeli podchodzimy do niej jako do dziedziny empirycznej, natomiast w matematyce można wyróżnić pewien obszar badawczy związany z tą teorią. O roli matematyki w jej strukturze i rozwoju będzie jeszcze wielokrotnie mowa. Na razie staramy się znaleźć empiryczny obszar badań, który możemy nazwać „teorią chaosu”. Ponieważ trudno jest znaleźć specyficzny rodzaj obiektów badanych przez tę teorię, zastanówmy się, czy nie udałoby się jej opisać, podając pewien rodzaj zjawisk i procesów, których badaniem zajmuje się w sposób najbardziej pełny i dokładny. To podejście do zagadnienia też niewiele może pomóc, bo podobnie jak w przypadku obiektów, zakres procesów badanych za pomocą metod teorii chaosu jest szeroki i mało jednorodny. Doprowadziła ona do lepszego zrozumienia i wyjaśnienia tak wielu rodzajów zjawisk, że nie stanowią one jednorodnej dziedziny, a w dodatku każdy ich typ jest przedmiotem zainteresowania dobrze określonej teorii, na przykład termodynamiki, hydrodynamiki, fizjologii, socjologii. Podobne trudności napotykamy, gdy staramy się wyodrębnić jakieś własności ciał charakterystyczne dla zastosowań teorii chaosu.

Powyższe trudności nie czynią na szczęście naszego zadania beznadziejnym, ponieważ teoria chaosu istnieje, szybko się rozwija i nabiera coraz bardziej dojrzałego kształtu, a wspomniane kłopoty wynikają z jej nietypowego charakteru. Musimy wobec tego zrezygnować z prób określenia, czym jest teoria chaosu, przez podanie jej zakresu rozumianego jako odrębny od zakresu innych teorii i dziedzin naukowych. W tej sytuacji pozostaje nam ostatnie wyjście – potraktowanie tej teorii jako odrębnego, specyficznego podejścia do wielu zjawisk i procesów zachodzących w przyrodzie i społeczeństwie. Różni się ona od innych nauk tym, że w nowy, ciekawy i efektywny sposób bada zjawiska przeważnie dobrze znane, a często badane przez setki lat. Jej sukcesy płyną z zastosowania nowego spojrzenia i nowych metod badawczych, a nie z odkrycia całkowicie nowego świata, tak jak w przypadku fizyki kwantowej, lub nowego rodzaju obiektów, tak jak w przypadku mikrobiologii.

To właśnie dzięki temu, że teoria chaosu nie ma odrębnej dziedziny badań i rozwijała się w ramach innych teorii, mogła stać się siłą napędową wielu dziedzin i doprowadzić stopniowo do istotnych zmian ich pojęć i metod. Jej nowość i znaczenie polegają na tym, że analizuje świat z nowego ogólnego punktu widzenia – z punktu widzenia złożoności. Z tego powodu jest często nazywana teorią złożoności. Termin ten rozumiemy tutaj jako przeciwieństwo prostoty, dlatego dalsze rozważania będą prowadzone w ramach opozycji prostota – złożoność. Jest to opozycja niezwykle przydatna, pozwalająca powiedzieć, czym jest teoria chaosu i jaki jest jej stosunek do nauki klasycznej, czyli tej, która istniała i rozwijała się przed powstaniem tej teorii. Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na to, że termin „nauka klasyczna” używany jest powszechnie we współczesnej fizyce, która podkreśla różnicę między nauką przed i po powstaniu obu rewolucyjnych teorii fizycznych. W tym rozumieniu fizyka klasyczna to ta, która istniała i rozwijała się do końca dziewiętnastego wieku. Z punktu widzenia teorii chaosu nowe, a więc „nieklasyczne” są jej działy powstałe w ostatnich czterdziestu latach, dlatego standardowa mechanika kwantowa jest klasyczna, jest bowiem liniowa i bada układy stabilne.

Podstawowa dla naszych rozważań opozycja prosty – złożony wymaga dalszego wyjaśnienia, ponieważ może ona prowadzić do niesłusznego przekonania, że nauka dopiero od niedawna zajęła się poważnie badaniem układów i procesów złożonych. Tak nie było i nie mogło być, skoro żyjemy w świecie bogatym i skomplikowanym, w którym często obserwujemy złożone obiekty, takie jak organizmy żywe, i bardzo skomplikowane procesy, takie jak zjawiska atmosferyczne, procesy społeczne oraz gospodarcze. Nauka, która z założenia bada cały świat i stara się nie pomijać niczego, nie mogła zająć się tylko zjawiskami prostymi, to, co trudne do wyjaśnienia i złożone pozostawiając na później, do czasu, gdy powstanie odpowiednia teoria zdolna sobie z tym poradzić. Teoria taka nigdy by nie powstała, gdyby nie poprzedzał jej długotrwały wysiłek i próby poznania tego, co do niedawna było zbyt trudne do pełnego zrozumienia.

Opiszemy obecnie podejście do świata i sukcesy nauki przeszłości, badającej zjawiska proste, stosunkowo łatwe do opisu i zrozumienia.

Przede wszystkim upraszczaj

Upraszczanie należy do istoty metody naukowej. Umiejętność inteligentnego i skutecznego upraszczania jest źródłem sukcesów nauk empirycznych. Wynika to z trzech faktów: ogromnej złożoności świata przyrody, małych, w porównaniu z tą złożonością, możliwości poznawczych ludzi oraz stosowania matematyki jako ważnego składnika języka nauki. Nasze rozważania zacznijmy od ostatniego punktu – od roli matematyki w naukach empirycznych.

Bez matematyki nie byłoby dobrze rozwiniętej, precyzyjnej nauki, pozwalającej dokładnie liczyć i przewidywać zjawiska. Jednak możliwość zastosowania matematyki w opisie świata przyrody nie jest wcale oczywista, ponieważ świat bytów matematycznych znacznie różni się od świata opisywanego za ich pomocą. Obiekty matematyczne są ściśle określone, niezmienne, idealne. W świecie przyrody istnieją odpowiedniki tych bytów, na przykład figur geometrycznych, lecz nie są one tak dokładne i idealne. Aby kształty ciał interpretować za pomocą regularnych figur geometrycznych, trzeba dokonać pewnej idealizacji tych ciał, pamiętając, że nie ma w świecie materii dokładnych kół, trójkątów lub sześcianów. Nawet starannie wykonane dzieła rąk ludzkich mają odpowiednie regularne kształty tylko z pewną dokładnością. To przystawanie świata idealnych obiektów i konstrukcji matematycznych do świata przyrody posiadającego odmienną naturę było przedmiotem głębokich rozważań filozoficznych i stało się centralnym punktem filozofii Pitagorasa oraz Platona. Nie będziemy wnikać w te sprawy, dyskutowane w filozofii od tysięcy lat, ponieważ dla naszych rozważań ważne jest tylko to, że każdy model matematyczny zjawisk zachodzących w przyrodzie jest idealizacją, dlatego jego obliczenia i wnioski trzeba interpretować odpowiednio ostrożnie. Z tego powodu jedną z ważnych umiejętności uczonego jest tworzenie uproszczonych, wyidealizowanych modeli badanych zjawisk. Modele takie można tworzyć przede wszystkich dla zjawisk odpowiednio prostych, które dają się wtłoczyć w ramy pojęć matematycznych.

Widząc w starożytnych Grekach twórców i prekursorów nauki europejskiej i patrząc z podziwem na ich dokonania, musimy jednak pamiętać, że ich wiedza matematyczna oraz empiryczna była bardzo uboga, dlatego o największych osiągnięciach naukowych tamtego okresu, takich jak prawo Archimedesa, mówi się obecnie w szkole podstawowej. Przez dwa i pół tysiąca lat nauka rozwijała się, osiągając poziom i zakres niewyobrażalny dla uczonych przeszłości. Rozwój ten był możliwy między innymi dzięki temu, że naukowcy starali się poznać badane zjawiska w sposób dokładny i pełny. Aby to uzyskać, wyodrębniali z otaczającej ludzi rzeczywistości stosunkowo proste obszary i badali je, stosując dostępne środki matematyczne i obserwacyjne. Początkowo zjawisk takich było mało, jednak w miarę rozwoju nauki coraz więcej dawało się dokładnie zanalizować, zrozumieć i przewidywać. Zakres tego, co proste i zrozumiałe, stale wzrastał. Zmieniało się jednocześnie pojęcie prostoty. Zależało ono od wiedzy matematycznej, jaką dysponowali przyrodnicy. Zakres matematyki starożytnej był wąski, w niewielu dziedzinach odbiegała ona od uporządkowanej wiedzy potocznej. Pewne jej działy, takie jak geometria, były rozwijane pod wpływem potrzeb praktycznych i chociaż dzięki Elementom Euklidesa geometria przez setki lat była wzorem ścisłości matematycznej, możliwości poznawcze, jakie dawała naukowcom, niezbyt odbiegały od wiedzy praktycznej. Z tego powodu mogli oni dokładnie opisać tylko najprostsze ciała i zjawiska. Również ich przyrządy pomiarowe i obserwacyjne chyba tylko w astronomii osiągnęły dokładność porównywalną z możliwościami obserwacyjnymi nowoczesnej nauki. Nauka w starożytności poznała dokładnie tylko kilka rodzajów prawidłowości, natomiast o pozostałej ogromnej reszcie obserwowanych procesów potrafiła powiedzieć niewiele lub prawie nic.

Od czasu stworzenia przez Isaaca Newtona dojrzałego matematycznie sformułowania mechaniki rozpoczął się szybki postęp fizyki, która zaczęła w imponującym tempie poznawać i dokładnie wyjaśniać coraz więcej rodzajów zjawisk. Rozwojowi nauk przyrodniczych towarzyszył szybki rozwój matematyki, zwłaszcza rachunku różniczkowego i całkowego, geometrii oraz algebry. W wyniku tego rozwoju uczeni tworzyli coraz dokładniejsze i coraz bardziej wyrafinowane modele procesów dynamicznych, które są dla nas najważniejsze w związku z ich powiązaniem z teorią chaosu. Chociaż w okresie około trzystu lat mechanika osiągnęła rezultaty, które uczyniły z niej najdokładniejszą podstawową teorię fizyki, było to mało w porównaniu z bogactwem i stopniem złożoności obserwowanych procesów. Sytuacja mechaniki nie była pod tym względem wyjątkowa, albowiem inne nauki także musiały umiejętnie wybierać z bogactwa badanych zjawisk te ich obszary, które dawały się opisać i zrozumieć za pomocą środków teoretycznych i obserwacyjnych, którymi dysponowały. W rezultacie nauka wytworzyła pewną strategię radzenia sobie z sytuacjami skomplikowanymi. Polegała ona na maksymalnym upraszczaniu ich opisu, a następnie na stopniowym umiejętnym dodawaniu nowych czynników i komplikowaniu modeli. Opiszemy obecnie tę strategię, ponieważ jest ona ważna dla teorii chaosu z dwóch powodów: jest ważną cechą klasycznej nauki, a ponadto stosujący ją naukowcy natknęli się na podstawowe ograniczenia, których przekroczenie stało się punktem wyjścia do teorii chaosu. Zaczniemy od krótkiej, odpowiednio zinterpretowanej historii teorii Układu Słonecznego.

Teoria Układu Słonecznego

O astronomii mówi się zwykle, że była pierwszą dokładną nauką przyrodniczą, która już kilka tysięcy lat temu pozwalała przewidywać zaćmienia Słońca i Księżyca. Było tak dlatego, że Układ Słoneczny jest jednym z najprostszych i najlepiej izolowanych układów dynamicznych stworzonych przez przyrodę, a ruchy planet można stosunkowo łatwo opisywać na tle nieruchomych gwiazd. W związku z tym już Babilończycy zgromadzili dokładne obserwacje astronomiczne, a Grecy i Egipcjanie uporządkowali je w teoretyczne systemy astronomii geocentrycznej. Heliocentryczna teoria Mikołaja Kopernika była nowym spojrzeniem na budowę Układu Słonecznego, nie była ona jednak z nowoczesnego punktu widzenia teorią pełną, nie mówiła bowiem nic o przyczynie kołowych ruchów planet wokół Słońca. Trzeba było czekać prawie 140 lat, zanim Newton sformułował wyjaśniający schemat mechaniki i w jego ramach umieścił prawo powszechnego ciążenia. Dopiero wtedy zrozumiano, jaka siła wiąże planety ze Słońcem i zmusza je do cyklicznych ruchów dookoła niego. Teoria grawitacji i sformułowana dzięki niej teoria Układu Słonecznego były wielkim sukcesem mechaniki Newtona. Astronomowie ochoczo zabrali się za coraz dokładniejsze pomiary i obliczenia ruchów planet i w zasadzie od początku natknęli się na podstawowe ograniczenia tej teorii. Ograniczeń tych nie było można usunąć, dlatego trzeba było w umiejętny sposób je omijać. Zobaczmy, na czym polegają te ograniczenia i na ile udało się je przezwyciężyć.

Sukcesy teorii grawitacji Newtona są powszechnie znane, dlatego wspomnimy je jedynie dla przypomnienia. Postulując istnienie uniwersalnej siły ciążenia, działającej między dwoma dowolnymi ciałami obdarzonymi masą, proporcjonalnej do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu ich odległości, Newton wytłumaczył eliptyczne tory planet i pozostałe prawa Keplera oraz dał astronomom matematyczny model ruchów planet, oparty na różniczkowych równaniach ruchu. I już w punkcie wyjścia okazało się, że model ten jest efektywny tylko przy dwóch silnych założeniach upraszczających.

Pierwsze założenie dotyczy kształtu planet i rozkładu ich masy. Ziemia, typowa planeta, wydaje nam się ciałem ogromnym i złożonym, którego ruchu nie dałoby się dokładnie opisać ani w czasach Newtona, ani w naszych i teoria grawitacji nic by tu nie zdziałała. Na szczęście w skali odległości astronomicznych rozmiary planet są zaniedbywalnie małe i można traktować je jak ciała pozbawione rozciągłości przestrzennej, tak zwane punkty materialne, których jedyną istotną charakterystyką jest całkowita masa. Nie można jednak od razu opisać planet jako ciał punktowych, ponieważ ich zachowanie pod wpływem siły ciążenia zależy od wewnętrznego rozkładu masy i małe rozmiary nie wystarczą. Ciało bardzo małe, lecz o nieregularnym rozkładzie masy, w pewnych częściach cięższe, a w innych lżejsze, będzie poruszać się w nieregularny, koziołkujący sposób. Newton zdawał sobie z tego sprawę i udało mu się udowodnić, że pod wpływem siły grawitacji ciało o kulistym kształcie i kulistosymetrycznym rozkładzie masy zachowuje się dokładnie tak jak ciało punktowe. Tak więc warunkiem stosowalności teorii Newtona do opisu ruchu planet był regularny, kulisty rozkład ich mas. Na szczęście warunek ten jest spełniony z dużą dokładnością i można było rozwiązywać równania ruchu planet jako punktów materialnych, połączonych siłą ciążenia.

W tym miejscu dało o sobie znać następne ważne ograniczenie teorii. Polega ono na tym, że równania ruchu są ściśle rozwiązalne tylko dla zagadnienia dwóch ciał. Ruch trzech ciał trzeba opisywać, rozwiązując równania w żmudny przybliżony sposób. Dwa ciała działające na siebie siłą ciążenia poruszają się po elipsach wokół wspólnego środka masy. Dla mas jednakowych środek masy znajduje się w środku odcinka łączącego ich środki geometryczne. Gdy masy są nierówne, środek mas jest tyle razy bliższy ciała cięższego, ile razy jego masa jest większa od masy partnera. Astronomowie musieli więc dokonać dwóch upraszczających założeń: badali każdą planetę jako jedno ciało poruszające się wokół Słońca i przyjęli, że masa Słońca jest wiele razy większa od mas planet. Dzięki tym założeniom można było dokładnie rozwiązać równania ruchu dla każdej z planet i zaniedbać ruch Słońca dookoła środka masy układu. Słońce rzeczywiście jest wiele cięższe od planet, a ponadto działają na nie z wielu stron częściowo równoważące się siły kilku planet, co zmniejsza jego ruch pod ich wpływem. Powstał w ten sposób podstawowy model ruchu ciał w Układzie Słonecznym.

Było jednak od początku wiadomo, że model ten jest niedokładny. Przede wszystkim planety, chociaż dalekie od siebie i posiadające małe masy, wpływają wzajemnie na swój ruch. Trzeba było w jakiś sposób uwzględnić i opisać te oddziaływania. Astronomowie dokonali tego, stosując metodę uniwersalną w podobnych wypadkach, którą nazywamy rachunkiem zaburzeń. Polega ona na tym, że opisując układ zbyt skomplikowany jak na nasze możliwości poznawcze, tworzymy na początku jego uproszczony model, uwzględniający jednak wszystkie istotne parametry. Model ten ma tę zaletę, że jego równania mogą być rozwiązane; rozwiązujemy je wobec tego, a następnie do tych równań i ich rozwiązań dodajemy inne czynniki, traktowane jako zaburzenia podstawowego regularnego ruchu. Ten nowy obraz zjawiska jest bliższy rzeczywistości. Ten schemat komplikowania równań i ich przybliżonego rozwiązywania można stosować wielokrotnie. Powstaje w ten sposób klasa coraz bardziej skomplikowanych modeli, które stanowią kolejne szczeble opisu badanego procesu, o coraz wyższym poziomie trudności rachunkowych. Reguły tworzenia i rozwiązywania tych modeli dobrze widać na omawianym przez nas przykładzie ruchu planet.

Wyjściowy model to jedna planeta poruszająca się wokół ciężkiego Słońca pod działaniem siły ciążenia. W modelu tym jest w zasadzie zawarta wiedza uporządkowana przez prawa Keplera. Newton podaje wprawdzie, jaka siła powoduje ruch, lecz z równań ruchu dla dwóch ciał wynika tylko to, co było znane przed Newtonem. Wiemy jednak, że jest to tylko bardzo uproszczony obraz dynamiki i komplikując go, możemy odtworzyć dalsze szczegóły, w żaden sposób nie dające się opisać i przewidzieć w teoriach wcześniejszych. Najprostsza komplikacja, nasuwająca się natychmiast, to dodanie do równań wzajemnego wpływu sąsiednich planet. Pochodząca od sąsiadów siła ciążenia zaburza i zniekształca eliptyczne tory planet. Zaburzenia te można było obliczyć i dzięki nim znaleziono dwie ostatnie planety, Neptuna i Plutona, których istnienie i położenie wykryto, analizując zaburzenia ruchu ich najbliższych znanych sąsiadów (dla Neptuna był to Uran, a dla Plutona – Neptun). Najpierw U.J.J. LeVerrier na podstawie zaburzeń ruchu Urana obliczył położenie Neptuna, który został zaobserwowany w roku 1846 przez astronoma niemieckiego J.G. Gallego, a w roku 1930 C. Tombaugh po długich poszukiwaniach odkrył Plutona. Było to wielkim sukcesem astronomii i potwierdzeniem skuteczności i słuszności stosowania w astronomii rachunku zaburzeń. Obecnie astronomowie potrafią jednocześnie liczyć położenie, oddziaływania i ruch kilku składników Układu Słonecznego. Stosują te obliczenia, projektując ruch sond kosmicznych wysyłanych na odległe planety. Sondy takie są często wysyłane w przestrzeń przy specjalnej konfiguracji planet, dzięki czemu poruszając się wahadłowym ruchem w polu kilku planet, są przez nie przyspieszane i kierowane po odpowiednim zaplanowanym torze. Pod tym względem możliwości obliczeń komputerowych znacznie przewyższają to, co udawało się zrobić bez nich. Idea jest jednak ta sama – przechodzenie od modelu prostego do coraz bardziej skomplikowanego.