Recenzent

Prof. dr hab. inż. Paweł Dłużewski

Wydawca

Izabela Jaźwińska

Redakcja

Joanna Cierkońska, Izabela Mika

Redakcja techniczna

Maryla Broda

Projekt okładki

Przemysław Spiechowski

Koordynator produkcji

Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwo Naukowe PWN
Michał Latusek

Publikacja została sfinansowana przez Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie

Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

Warszawa 2020

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2020r. (wyd. I)

ISBN 978-83-01-21060-1

Wydawnictwo Naukowe PWN SA

02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2

tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 031

e-mail: pwn@pwn.com.pl; www.pwn.pl

BEZPŁATNY FRAGMENT

Wstęp

Rozdział 1.
Podstawy rachunku wektorowego i tensorowego

Rozdział 2.
Ruch punktu we współrzędnych krzywoliniowych

Rozdział 3.
Rachunek wektorowy – kinematyka (ruch płaski)

Rozdział 4.
Rachunek wektorowy – kinematyka (ruch kulisty)

Rozdział 5.
Rachunek tensorowy – momenty bezwładności

Rozdział 6.
Zadania do samodzielnego rozwiązania

Dodatek A.
Podstawowe pojęcia z rachunku tensorowego

Dodatek B.
Składowe fizyczne tensora pierwszego rzędu (wektora)

Literatura.
Rachunek wektorowy

Literatura.
Rachunek tensorowy

Dédié à Camil El Asri

élève de première année de l’école primaire à Paris-Montrouge

Wstęp

Napiszę o kimś, kogo nie znacie, a o kim warto, wręcz trzeba napisać. Mowa o matematyku Hermannie Günterze Grassmannie, urodzonym w Szczecinie 15 kwietnia 1809 r. (w dniu urodzin szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera, jak zauważają niemieccy historycy). Grassmann początkowo uczęszczał do szkoły prywatnej, a następnie połączonego Gimnazjum Królewskiego i Miejskiego w Szczecinie (dziś Liceum nr IX), w którym jego ojciec, Justus Günter (1779–1852), uczył matematyki, fizyki i rysunku. W roku 1827 powstała jego interesująca praca z teorii liczb. Napisał też kilka prac z geometrii, które zostały potem wykorzystane przez fizyków i astronomów podczas konstrukcji zegara astronomicznego i meteorologicznego. Matka Hermanna, Johanne Luise Friederike Madewald, była córką pastora.

Hermann był trzecim dzieckiem, po nim Grassmannom urodziło się jeszcze pięć dziewczynek i czterech chłopców. Z braci należy wymienić Gustawa, Roberta i Justusa, z którymi Hermann współpracował w zakresie językoznawstwa, fizyki, matematyki i filozofii. Pod wpływem pastora Zybbela postanowił poświęcić się teologii i zostać pastorem. W szkole nie przejawiał specjalnego zainteresowania określonymi przedmiotami, uczył się głównie gry na fortepianie i podstaw muzyki. Egzamin dojrzałości zdał 17 września 1827 r., a 15 października 1827 r., w dniu ukończenia szkoły, wygłosił po łacinie wykład O wpływie, jaki miały rządy Augusta na rzymską literaturę. W szkole zajął drugie miejsce w ogólnej klasyfikacji. Z matematyki otrzymał ocenę dobrą. Wynika z tego, że talent i skłonność do matematyki nie zostały w nim rozbudzone w okresie szkoły średniej.

Po maturze wraz ze starszym bratem Gustawem rozpoczyna studia teologiczne na uniwersytecie w Berlinie. W domu studiuje klasyków greckich. Słucha wykładów różnych teologów, szczególnie ceni Neandera i Schleismachera. Czyta również dzieła Platona. W 1829 r. odbywa podróż do Wiednia, Tyrolu, Monachium i do Szwajcarii, w Alpy. W czasie studiów oraz później, poznając dzieła ojca, dostrzega potrzebę gruntownego uzdrowienia i oczyszczenia języka matematycznego.

W końcu 1830 r. Hermann powraca do Szczecina i podejmuje pracę jako nauczyciel asystent (Hillfslehrer) w Seminarium Królewskim połączonym ze szczecińskim gimnazjum. W tym samym roku zdaje egzamin z języków starożytnych i matematyki. Następnie powraca do studiów teologicznych i w maju 1834 r. zdaje pierwszy egzamin. Przez kolejne dwa lata pracuje jako nauczyciel matematyki w Berlińskiej Szkole Przemysłowej, gdzie poznaje Jakuba Steinera. Jednak środowisko berlińskie mu nie odpowiada. Wraca do Szczecina i rozpoczyna pracę w szkole miejskiej im. Ottona z Bambergu (Ottoschule; odpowiednik szkoły realnej bez łaciny), gdzie wykłada matematykę, chemię, język niemiecki i religię. Pracuje tu do 1842 r. Tymczasem jego ojciec pracuje również naukowo i wydaje w 1827 r. rozprawę z zakresu pojęć czystej teorii liczb. Rozprawa jest o tyle interesująca, że przypomina wprowadzenie do pierwszego dzieła Hermanna, Ausdehnugslehre, wydanego w 1844 r.

W roku 1839 Hermann G. Grassmann zdał z wynikiem bardzo dobrym egzamin z teologii. Rok później złożył swoją pierwszą pracę naukową przed komisją w Berlinie, uzyskując niezależny fakultet i prawo do prowadzenia wykładów z matematyki, fizyki, mineralogii i chemii. W 1841 r. napisał dwie książki: Zarys gramatyki niemieckiej i Przewodnik nauki niemieckiej (wspólnie z bratem Gustawem). W roku 1842 zrezygnował z kariery teologicznej i postanowił zająć się rozwijaniem i tworzeniem nowych dziedzin nauki.

W tym samym roku założył rodzinę. Według historyków Grassmannowie mieli jedenaścioro dzieci (siedmioro z nich dożyło wieku dorosłego): Justus (ur. w 1851 r.) był matematykiem i dyrektorem Gimnazjum Realnego im. Fryderyka Wilhelma, w którym pracował jego ojciec; Max (ur. w 1852 r.) – przez teologię dotarł do matematyki, był profesorem w Gimnazjum Mariackim; Hermann Ernst (ur. w 1857 r.) został profesorem matematyki na Uniwersytecie w Giessen, wcześniej był nauczycielem łaciny w Halle; Ludolf (ur. 1861 r.) był naczelnym lekarzem we Flensburgu, a Richard (ur. w 1864 r.) – profesorem zwyczajnym budowy maszyn w Wyższej Szkole Technicznej w Karlsruhe. Pozostałe dzieci to: Emma (ur. w 1850 r.), Agnes (ur. w 1855 r.), Helmuth (ur. w 1856 r.), Luisa (ur. w 1858 r.), Klara (ur. w 1866 r.) i Konrad (ur. w 1867 r.).

W roku 1842 Grassmann wydał Theorie der Zentralen, w której czerpiąc z prac Ponceleta i Möbiusa (twórca rachunku barycentrycznego), przedstawił ogólne twierdzenia o średnicach, asymptotach, stycznych, krzywych i powierzchniach otrzymanych w specjalnych przypadkach. W publikacji tej przedstawił również wszystkie wyniki Poncelota. Praca pokazała twórczą siłę autora, nie wnosząc jednak nic istotnego do metod nowej analizy.

W 1839 r. Grassmann opublikował Theorie der Ebbe und Flut (Teoria odpływu i przypływu), gdzie po raz pierwszy zastosował rachunek wektorowy. W 1844 r. ukazało się jego podstawowe dzieło Die lineale Ausdehnungslehre, ein nuer Zweig der Mathematik, napisane trudnym językiem staroniemieckim. Już początkowa część tytułu stwarza problemy z tłumaczeniem na współczesny niemiecki. W literaturze angielskiej brzmi ono: The Theory of Extension, a New Branch of Mathematics. Na polski tytuł ten można przetłumaczyć jako Wykłady o liniowej teorii rozszerzenia, nowa gałąź matematyki (to jest rzecz nie tylko o rachunku wektorowym). W polskim piśmiennictwie o tej publikacji po raz pierwszy wzmiankuje M.T. Huber w swojej książce Mechanika ogólna i techniczna, w interesującym przypisie na s. 25.

W Ausdehnungslehre Grassmann operuje niewielkimi rachunkami, ale na niespotykanym do tej pory poziomie abstrakcji. Filozoficzny styl dzieła nie zapewnił mu uznania ówczesnych matematyków, jednakże – jak potwierdził Erdmann – trzy aksjomaty przedstawione w teorii Riemanna–Helmholtza pokrywają się z tezami podanymi przez Grassmanna i uznanymi w tej teorii za wystarczające. Bardzo przychylnie o książce wyrażał się Möbius, chociaż nie podjął się jej recenzowania i polecił Drobischa, którego uważał za bardziej kompetentnego matematyka. Zaproponował natomiast Grassmannowi napisanie streszczenia Ausdehnungslehre jako artykułu do czasopisma Archiv der Mathematik. Druga edycja tego dzieła ukazała się w 1862 r. Jego przerobione wydanie z obszernym wstępem autora wydrukowano w 1878 r. w Lipsku pod tytułem Die Ausdehnungslehre von 1844 oder Die lineale Ausdehnunglehre: ein nuer Zweig der Mathematik dargestellt und durch Andendungen auf die ubrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert (Verlag von Otto Wiegand). Praca liczy 302 strony, w tym jedną zawierającą 17 rysunków, zamieszczoną na końcu. Z informacji samego autora wynika, że był on całkowicie przekonany o nowatorstwie swojego dzieła, ba, podkreślał we wstępie jego wpływ na prace innych autorów, w tym Rudolfa Clebscha. Grassmann podał definicję niezależności wektorów, wymiaru przestrzeni wektorowej, mnożenia zewnętrznego i wewnętrznego multiwektorów. Pierwszy wprowadził pojęcie produktu zewnętrznego (ein ausseres Produkt) jako iloczynu wektorowego (por. s. 60–64 wyd. z 1877 r.; oznaczenia podaję zgodnie z oryginalnym zapisem). W literaturze współczesnej produkt zewnętrzny (z ang. antisymmetric tensor product, exterior product lub wedge product) zapisuje się inaczej, jako , o ile – zapis prawdopodobnie po raz pierwszy użyty przez Cartana w 1922 r. Trzeba jednak zaznaczyć, że autor nie używa wprost nazwy „wektor”, niem. Vektor. Operuje pojęciem ausseres Produkt zweier Strecken (niem. die Strecke oznacza linię). Pojęcie przestrzeni wektorowej wprowadzono w latach 1918–1820 w serii artykułów wybitnego niemieckiego uczonego Hermanna Weyla (1885–1955, doktorat na Uniwersytecie w Getyndze w 1908 r., promotor David Hilbert). Grassmann wprowadził także pojęcie przestrzeni n-wymiarowej, rozbudował jej geometrię, najpierw afiniczną, następnie metryczną. Podał koncepcję algebry zewnętrznej, dzisiaj nazywanej algebrą Grassmanna.

Hermann G. Grassmann zajmował się również fizyką. W roku 1845 opublikował pracę dotyczącą elektrodynamiki. Jego wyniki potwierdził Clausius w 1876 r. W 1853 r. sformułował prawa aktywnego mieszania barw (dzisiaj znane jako prawa Grassmanna), które stanowiły podstawy kolorymetrii (ich potwierdzenie znajdujemy w pracy prof. Prayera z 1876 r.). W latach 1860–1862 zajmował się językoznawstwem, opracowując słownik sanskrytu (język literacki starożytnych, średniowiecznych i wczesnonowożytnych Indii) do Rygwedy (najstarszy indoaryjski zabytek literacki, opracowywany przez Grassmanna w latach 1872–1875). Kochał muzykę i zbierał pomorskie piosenki ludowe. Od roku 1871 był członkiem korespondentem Towarzystwa Naukowego w Getyndze, a od 1876 – członkiem Amerykańskiego Towarzystwa Orientalistycznego. W roku 1876 Uniwersytet w Tybindze (wydział filozoficzny) nadał mu godność doktora honoris causa.

Ostatnie lata życia Grassmanna to czas cierpień fizycznych (poruszał się na wózku inwalidzkim), ale również uznania jego prac. Mimo choroby nóg był dowożony na wykłady prowadzone w gimnazjum. Pracował do końca swoich dni. Drugiego wydania swojego dzieła już nie doczekał. Zmarł wczesnym rankiem 26 sierpnia 1877 r. w swoim mieszkaniu służbowym w Szczecinie przy Königsplatz 9 (obecnie Domki Profesorskie przy placu Żołnierza Polskiego).

Twórcami rachunku wektorowego nie byli więc ani Adhémar Jean Claude Bareé de Saint-Venant, ani William Rowan Hamilton, ani wreszcie Josiah Willard Gibbs (ten ostatni odkrył dzieło Grassmanna dopiero w 1877 r.). Gibbs pisał zresztą: „(…) in mechanics, kinematics, astronomy, physics or crystallography, Grassmann’s point analysis will rerely be wanted”.

Jednym z pierwszych matematyków, którzy docenili prace Grassmanna, był Hermann Hankel w r. 1867 (Theorie der komplexen Zahlensysteme). W 1878 r. William Kingdon Clifford z The Johns Hopkins University pisał w artykule „Application of Grassmann’s Algebra”, zamieszczonym w numerze 1 American Journal of Mathematics z 1878 r.: „(…) I may, perhaps, therefore be permitted to express my profound admiration of that extraordinary work, and my conviction that its principles will exercise a vast influence upon the future of mathematical science”.

Hermann G. Grassmann był zapomniany niemal przez 150 lat, aż do czasu konferencji w Lieschow na Rugii w 1994 r., zorganizowanej z okazji rocznicy wydania jego pierwszego dzieła Ausdehnungslehre. Dzisiaj uchodzi za jednego z największych myślicieli nauki XIX w. Sami matematycy twierdzą, że jego dokonania matematyczne ciągle nie są do końca dobrze poznane i właściwie odczytane.

W niniejszej książce zastosowano następujący układ: rozdziały 1 i 2 to podstawy rachunku wektorowego i tensorowego. Praktyczne zastosowanie rachunku wektorowego pokazano w rozdziałach 3 i 4, w obliczeniach wybranych zagadnień kinematyki (ruch płaski i ruch kulisty), a rachunek tensorowy wykorzystano do obliczeń momentów bezwładności linii, figur płaskich i brył (rozdział 5). Przykłady do samodzielnego rozwiązania zamieszczono w rozdziale 6.

Na koniec przyjemny obowiązek. Dziękuję Rektorowi Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie panu dr. hab. inż. Jackowi Wróblowi za przyznanie środków na wydanie książki. Dziękuję recenzentowi książki, panu prof. Pawłowi Dłużewskiemu z Instytutu Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk w Warszawie, za przyjęcie recenzji, napisanie uwag krytycznych i udzielone konsultacje. Dziękuję mojemu koledze mgr. inż. Robertowi Brinkenowi za ciągłą gotowość i staranne sporządzenie rysunków. Wreszcie bardzo serdecznie dziękuję moim najbliższym za nieustanne wsparcie i lata cierpliwości.

Wszelkie pytania i uwagi dotyczące książki proszę kierować na mój adres: rbuczkowski@zut.edu.pl.

Bibliografia

Browne J., Grassmann Algebra, Volume 1: Foundations. Exploring extended vector algebra with Mathematica, Barnard Publishing, 2012.

Clifford W.K., Application of Grassmann’s extensive algebra, American Journal of Mathematics, 1(4): 350–358, 1878.

Domaradzki S., Hermann Grassmann (1809–1877). Jego pracowite życie i renesansowe zainteresowania, [w:] Matematyka XIX wieku. Materiały z II Ogólnopolskiej Szkoły Historii Matematyki pod red. S. Fudalego, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 1988.

Jach D., Hermann Günter Grassmann (1809–1877), Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, nr 169, Acta Mathematica Pomeranica, nr 3, 1995.

Winitzki S., Linear algebra via exterior products, www.lulu.com.

ROZDZIAŁ 1
Podstawy rachunku wektorowego i tensorowego

1.1. Pojęcia podstawowe. Skalary i wektory

Jedną z metod klasyfikacji wielkości fizycznych jest metoda oparta na zasadzie wyznaczenia ilości przy ustalonej jednostce miary. Jeżeli do wyznaczenia określonej wielkości wystarczy jedna liczba, wielkości te nazywamy wielkościami skalarnymi, a liczby je wyznaczające – skalarami, gdyż można im przyporządkować punkty pewnej skali. Do skalarów należą m.in. temperatura, gęstość, energia, potencjał. Skalarem jest również długość wektora. Mówimy również, że takie wielkości są niezmiennikami, co oznacza, że są niezależne od zmiany osi układu współrzędnych, np. w wyniku obrotu układu.

Inne wielkości, np. prędkość, przyśpieszenie, siła, moment, nie mogą być wyznaczone jednoznacznie przez ich miary. Ich działanie zależy jeszcze od kierunku i zwrotu. Takie wielkości nazywamy wielkościami wektorowymi. Wielkości wektorowe można przedstawić jako odcinek o pewnej długości i kierunku.

Wielkości wektorowe reprezentujące wielkości fizyczne oprócz podanych trzech cech (długość wektora, kierunek i zwrot) powinny mieć określone położenie w danej przestrzeni. Z tego względu wektory dzielimy na trzy grupy:

(a)wektory swobodne,

(b)wektory posuwne (ślizgające się),

(c)wektory zaczepione.

Wektory swobodne reprezentują wielkości fizyczne bez określenia ich położenia w przestrzeni. Przykładem mogą być wektory przemieszczenia, prędkości i przyśpieszenia ciała sztywnego w jego ruchu postępowym. Wszystkie punkty ciała sztywnego mają te same cechy fizyczne (takie samo przemieszczenie, tę samą prędkość i przyśpieszenie) niezależnie od punktu przyłożenia.

Wektory posuwne określają poprawnie wielkość fizyczną, gdy leżą na jednej prostej. Przykładem jest wektor siły. Działanie wektora siły nie zmieni się, jeżeli przyłożymy go w dowolnym miejscu na kierunku działania wektora. Wektory zaczepione mają określony punkt przyłożenia. Przykładem może być wektor przemieszczenia określonego punktu ciała deformującego się, wektory prędkości lub przemieszczenia określonego punktu ciała sztywnego w jego ruchu swobodnym.

Podane rozróżnienie wektorów w mechanice ma istotne znaczenie, a zakwalifikowanie dowolnego wektora do niewłaściwej grupy z zachowaniem trzech podstawowych cech wektora (wartość, kierunek i zwrot) może prowadzić do błędnej interpretacji fizycznej działań matematycznych na wektorach. Wektory są równoważne, jeżeli przedstawiają tę samą wielkość wektorową. Dwa wektory swobodne są zawsze równoważne. Wektory posuwne są równoważne, jeżeli leżą na tej samej prostej. Wektory zaczepione są równoważne, jeżeli są przyłożone do tego samego punktu.

1.2. Oznaczenie wektorów

1.2.1. Dodawanie wektorów

Wektorem (dokładnie wektorem zaczepionym) o początku A i końcu B nazywamy uporządkowaną parę punktów A i B. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy przez . Będziemy również oznaczać wektory literami pogrubionymi, np. a, b, c. Odległość punktów A i B nazywamy długością lub miarą wektora i oznaczamy jako względnie AB lub odpowiednio długość wektora a przez względnie a. Zwrotem wektora nazywamy zwrot półprostej AB. Dwa wektory mają ten sam kierunek, jeśli proste wyznaczone przez te wektory mają ten sam kierunek. Dwa wektory a i b nazywamy równymi, jeśli mają ten sam kierunek, zwrot i równe długości. Dwa wektory nazywamy przeciwnymi, jeśli mają równe długości, ten sam kierunek, lecz przeciwne zwroty. Wektor przeciwny do a oznaczamy przez . Wektorem zerowym 0 nazywamy wektor, którego początek i koniec się pokrywają.

Sumą wektorów a i b nazywamy wektor c, który tworzymy w następujący sposób: od dowolnego punktu O odkładamy wektor a, a od końca odłożonego wektora a odkładamy wektor b. Początkiem wektora jest punkt O, a końcem jest koniec wektora b (rys. 1.1). Suma wektorów nie zależy od wyboru punktu O. Różnicą wektorów a i b nazywamy sumę wektora a i wektora przeciwnego do wektora b. Różnicę tę określamy wzorem:

.

Sumę i różnicę możemy przedstawić za pomocą równoległoboku jak na rys. 1.1.

RYSUNEK 1.1

Podczas dodawania wektorów zachodzi prawo łączności.

Zgodnie z prawem łączności wektor wynikowy r (rys. 1.2), będący sumą trzech wektorów a, b i c, może być obliczony następująco:

.

Obowiązuje tu prawo przemienności, tzn. kolejność dodawania wektorów jest dowolna, czyli:

.

Własności dodawania wektorów można podsumować w sposób następujący:

(prawo przemienności),

(prawo łączności),

,

.

Stosując podany sposób, można otrzymać sumę dowolnej liczby wektorów (rys. 1.3). Zamykający bok wieloboku jest sumą wektorów, przy czym kolejność dodawania wektorów jest dowolna. Wektor sumy powstaje przez połączenie początku pierwszego wektora z końcem ostatniego.

RYSUNEK 1.2

RYSUNEK 1.3

1.2.2. Mnożenie wektora przez liczbę, kombinacja liniowa wektorów

Iloczyn wektora niezerowego a przez liczbę m jest także wektorem o długości m-krotnej od długości wektora a, to znaczy:

.

Wektor wynikowy b jest równoległy do wektora a, przy czym jeżeli m < 0, to wektory są przeciwnie równoległe, dla m > 0 wektory są zgodnie równoległe.

Każdy wektor o długości 1 nazywamy wektorem jednostkowym lub wersorem. Jeżeli jest wersorem wektora a, .

Wersor jest wektorem zgodnie równoległym z wektorem a. Wektor a można wtedy przedstawić jako iloczyn wersora i modułu (długości) wektora a: .

Z własności mnożenia wektora przez liczbę wynikają następujące zależności:

,

,

,

.

Wektor

,

(1.1)

nazywamy kombinacją liniową wektorów , , ..., . Wektory te nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieją liczby nie wszystkie równe zeru, tzn.

, takie że .

Dwa wektory liniowo zależne nazywamy wektorami kolinearnymi. Dwa niezerowe i kolinearne wektory noszą nazwę wektorów równoległych. Trzy wektory a, b, c liniowo zależne nazywamy wektorami komplanarnymi, jeżeli istnieją trzy liczby α, β, γ, wszystkie różne od zera i spełniające zależność:

.

(1.2)

Wektory komplanarne leżą na jednej płaszczyźnie. Każdy z trzech wektorów leżących na jednej płaszczyźnie da się przedstawić jako kombinację liniowo zależną od dwóch pozostałych, np. jeżeli , to

.

(1.3)

Jeżeli dodatkowo wektory a i b nie będą wektorami kolinearnymi, to po umieszczeniu ich początków we wspólnym punkcie O wyznaczają one płaszczyznę. Wtedy wektor c może zostać rozłożony na kierunki wektorów a i b (rys. 1.4), przy czym , , , , , .

RYSUNEK 1.4

1.3. Konwencja sumacyjna Einsteina

Do opisu wielu zjawisk fizycznych wystarcza posługiwanie się kartezjańskim ortogonalnym układem współrzędnych. Jesteśmy przyzwyczajeni do oznaczeń osi układu współrzędnych przez x, y, z, oraz odpowiednich wersorów osi przez i, j, k. Wprowadźmy inne oznaczenia. Osie układu będziemy oznaczać jako , wersory zaś jako. Dla dogodności zapisu zależności zapisywać będziemy w postaci indeksowej, stosując tzw. konwencję sumacyjną Einsteina. Zgodnie z nią osie układu współrzędnych będziemy oznaczać jako, wersory osi jako , gdzie: i =1, 2, 3. Jeżeli we wzorach będą występować wyrażenia z powtarzającymi się indeksami, oznaczać to będzie sumowanie wszystkich wyrazów, w których powtarzany wskaźnik przyjmuje wszystkie możliwe wartości. Wskaźniki powtarzające się nazywać będziemy niemymi (sumacyjnymi), pozostałe zaś wskaźnikami swobodnymi (nazywane również bieżącymi lub wolnymi). Wskaźniki nieme zawsze znikają po rozwinięciu wzoru. Do określenia wskaźników niemych można stosować zamiennie inne dowolne litery, przykładowo:

,

gdzie wskaźniki i, j, k, m = 1, 2, 3.

W tym wyrażeniu k lub m są wskaźnikami niemymi (powtarzającymi się), natomiast i oraz j wskaźnikami wolnymi. Jeżeli wybierzemy przykładowo jako wskaźniki wolne i = 2 oraz j = 3, to nasze wyrażenie przybierze postać:

.

Podany tu zapis wskaźnikowy oraz konwencja sumacyjna są powszechnie stosowane w rachunku tensorowym.

PRZYKŁAD 1.1

Należy rozwinąć wyrażenie , zakładając, że i, j, k = 1, 2, 3.

Rozwiązanie

W wyrażeniu tym występują wskaźniki nieme k oraz l oraz wskaźniki wolne i oraz j. Sumowanie następuje po wskaźnikach niemych, wskaźniki wolne pozostawiamy. Wyrażenie to możemy zapisać w postaci podwójnej sumy, przy czym najpierw wykonujemy sumowanie po l, potem po k:

Wstawiając w miejsce wskaźników i oraz j dowolne liczby, np. i = 1, j = 3, otrzymamy wyrażenie na :

1.4. Wektory w układzie współrzędnych prostokątnych

Niech a będzie dowolnym wektorem na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, a rzutami tego wektora na osie Ox, Oy i Oz (rys. 1.5).

Jeżeli są wersorami osi (lub inaczej wektorami jednostkowymi o zwrotach zgodnych ze zwrotami osi) oraz założymy, że końce wektorów i (są to wektory wodzące) mają współrzędne odpowiednio i , to wektor zapisujemy w postaci (rys. 1.5):

lub .

Liczby nazywamy współrzędnymi wektora. Współrzędne mogą być dodatnie, ujemne lub równe zeru. W przestrzeni trójwymiarowej dany wektor a będziemy zapisywać następująco (patrz rys. 1.5):

.

RYSUNEK 1.5

Z definicji sumy wektorów wynika wzór:

.

Wersory osi (lub inaczej wektory bazowe) dają się przedstawić w sposób następujący:

, , .

(1.4)

Zamiennie będziemy oznaczali wersory układu współrzędnych również przez i, j, k.

Niech wektor niezerowy tworzy z osiami współrzędnych kąty (rys. 1.5). Cosinusy tych kątów nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a, przy czym:

, , .

(1.5)

Podnosząc obie strony równania (1.5) do kwadratu i dodając stronami, otrzymamy:

.

(1.6)

Sumę lub różnicę dwóch wektorów i tworzymy, dodając lub odejmując współrzędne wektorów:

,

(1.7a)

.(1.7b)

Rzutem wektora a na oś nazywamy wektor (rys. 1.6), którego początek jest rzutem początku, a koniec rzutem końca wektora a na tę oś. Współrzędną wektora a względem osi nazywamy miarę rzutu (lub współrzędną) wektora względem tej osi. Zakładając, że jest wersorem osi , mamy:

, .

(1.8)

Wszystkie przeprowadzone obliczenia rachunkowe będziemy odnosili do prawoskrętnego układu współrzędnych (rys. 1.7).

RYSUNEK 1.6

RYSUNEK 1.7

PRZYKŁAD 1.2

Dane są trzy wektory: Należy przedstawić wektor c jako kombinację liniową wektorów a i b.

Rozwiązanie

Zapisujemy wektor w postaci: .

Mnożąc obie strony równania wektorowego przez wersory i oraz j, otrzymamy dwa równania liniowe:

, ,

zatem

, .

Rozwiązując układ równań, otrzymamy: i .

Odpowiedź

.

PRZYKŁAD 1.3

W prostokącie ABCD, M i N są środkami boków , . Należy rozłożyć wektor na kierunki wektorów i .

Rozwiązanie

Ponieważ punkty M i N są środkami boków prostokąta ABCD (rys. 1.8), więc

RYSUNEK 1.8

, , ,

gdzie: i, j, k są wersorami osi.

Zgodnie z założeniem wektor c musi być sumą dwóch wektorów, tzn. , zatem:

.

Porównując teraz współrzędne przy tych samych wersorach po obu stronach równania, otrzymujemy dwa równania:

, .

Rozwiązanie układu równań prowadzi do otrzymania .

Odpowiedź

.

1.5. Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów a i b nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi:

.

(1.9)

Własności iloczynu skalarnego:

– iloczyn skalarny jest przemienny,

,

– prawo rozdzielności iloczynu względem dodawania.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika własność ortogonalności dwóch niezerowych wektorów a i b oraz wzór na długość wektora a. Mianowicie, dwa wektory są ortogonalne (kąt między wektorami jest prosty), jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tj. .

Wzór na długość wektora a:

.

(1.10)

W prostokątnym układzie współrzędnych dla danych dwóch wektorów i iloczyn skalarny w zapisie wskaźnikowym wyraża się wzorem:

(1.11)

Powyżej, w przypadku mnożenia skalarnego, wykorzystano symbol delty Kroneckera . Zgodnie z jej definicją mamy:

Przy założeniu ortogonalności układu współrzędnych otrzymujemy .

Jeżeli a i b są wektorami niezerowymi, to korzystając z definicji iloczynu skalarnego, kąt zawarty między nimi obliczamy z następującego wzoru:

.

(1.12)

PRZYKŁAD 1.4

Należy wykazać słuszność wzoru oraz podać jego sens geometryczny.

Rozwiązanie

.

Korzystając ze wzoru (1.9), obliczamy:

oraz ,

zatem

.

Odpowiedź

Suma kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów jego przekątnych.

PRZYKŁAD 1.5

Należy znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach , , .

Rozwiązanie

I sposób

, , ,

, , .

RYSUNEK 1.9

Kąty obliczamy, korzystając ze wzoru (1.9). Przy zachowaniu odpowiednich zwrotów wektorów tworzących trójkąt (rys. 1.9) mamy:

,

,

.

II sposób

Ponieważ wektory a, b i c tworzą trójkąt zamknięty (rys. 1.9), mamy stąd (szukamy cos α).

Podnosimy do kwadratu obie strony równania i otrzymujemy:

.

Korzystamy z własności iloczynu skalarnego i obliczamy:

, ,

oraz ,

stąd

.

W podobny sposób można uzyskać wzory na pozostałe kąty:

,

.

Otrzymane powyżej wzory przedstawiają twierdzenie Carnota (zwane również twierdzeniem cosinusów).