Tytuł oryginału:
50 Mathematical Ideas you Really Need to Know
Autor: Tony Crilly
First published in 2007 by Quercus Publishing Plc
Copyright © Tony Crilly 2007
All rights reserved.

II wydanie polskie:
Projekt okładki i stron tytułowych Lidia Michalak-Mirońska
Wydawca Karol Zawadzki
Tłumaczenie Wiktor Bartol
Koordynacja ds. redakcji Adam Kowalski
Redakcja językowa Wojciech Baturol
Korekta Maria Kasperska
Konsultacja naukowa Jakub Szczepaniak
Produkcja Mariola Grzywacka

Skład wersji elektronicznej na zlecenie Wydawnictwa Naukowego PWN
Karol Ossowski/Woblink

Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.

Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

Copyright © by Dom Wydawniczy PWN Sp. z o.o, Warszawa 2013
Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2019

ISBN 978-83-01-20759-5

eBook został przygotowany na podstawie wydania papierowego z 2021 r., (wyd. I - 3 dodruk)
Warszawa 2021

Wydawnictwo Naukowe PWN SA
02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2
tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288
infolinia 801 33 33 88
e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl
www.pwn.pl

Spis treści

Wstęp

1. Zero

2. Systemy liczbowe

3. Ułamki

4. Kwadraty i pierwiastki

5. π

6. e

7. Nieskończoność

8. Liczby urojone

9. Liczby pierwsze

10. Liczby doskonałe

11. Liczby Fibonacciego

12. Złote prostokąty

13. Trójkąt Pascala

14. Algebra

15. Algorytm Euklidesa

16. Logika

17. Dowód

18. Zbiory

19. Rachunek

20. Konstrukcje

21. Trójkąty

22. Krzywe

23. Topologia

24. Wymiar

25. Fraktale

26. Chaos

27. Postulat równoległości

28. Geometria dyskretna

29. Grafy

30. Problem czterech barw

31. Prawdopodobieństwo

32. Wzór Bayesa

33. Problem urodzin

34. Rozkłady

35. Krzywa normalna

36. Łączenie danych

37. Genetyka

38. Grupy

39. Macierze

40. Kody i szyfry

41. Kombinatoryka

42. Kwadraty magiczne

43. Kwadraty łacińskie

44. Matematyka pieniądza

45. Problem diety

46. Problem komiwojażera

47. Teoria gier

48. Względność

49. Wielkie Twierdzenie Fermata

50. Hipoteza Riemanna

Słowniczek

Przypisy

Patroni

Wstęp

Matematyka jest niezwykle obszerną dziedziną wiedzy, której właściwie nikt nie jest w stanie gruntownie zgłębić. Można ją natomiast odkrywać „po swojemu” i przecierać własne ścieżki. Otwierające się wtedy drogi doprowadzą do innych czasów i kultur, do idei, które przez stulecia intrygowały matematyków.

Matematyka jest zarówno starożytna, jak i nowoczesna, utkana z wielorakich nici kulturowych i politycznych. Po Indiach i świecie arabskim odziedziczyliśmy współczesny system liczbowy, noszący ślady różnorodnych wpływów historycznych. Babiloński system z podstawą równą 60 sprzed dwóch czy trzech tysiącleci przed naszą erą ujawnia się i w naszej kulturze – mamy 60 sekund w minucie, 60 minut w godzinie, kąt prosty nadal ma 90 stopni, a nie 100, jak niegdyś postanowiła rewolucyjna Francja w pierwszym kroku na drodze do „decymalizacji”.

Technologiczne triumfy współczesnej epoki bazują na matematyce i bez wątpienia nie ma już powodu, by uznawać za powód do dumy szkolne niepowodzenia w tym przedmiocie. Oczywiście, matematyka szkolna to spojrzenie nieco odrębne, często skupione zbyt mocno na zaliczeniu końcowych egzaminów. Nie ułatwia sprawy szkolny pośpiech, gdyż w matematyce szybkość nie jest cenioną zaletą. Potrzeba czasu, by spokojnie zgłębić matematyczne idee. Niektórzy spośród największych matematyków bywali boleśnie powolni, gdy z mozołem przedzierali się przez zawiłe meandry matematycznych koncepcji.

Niniejsza książka nie namawia do pośpiechu. Można się w nią zanurzać w wolnych chwilach, swobodnie dysponując czasem, by odkrywać to, co rzeczywiście znaczą wcześniej zasłyszane pojęcia i idee. Zaczynając od zera albo od dowolnie wybranego miejsca, można wyruszyć w podróż po archipelagach matematycznych teorii. Początkiem wędrówki może być, na przykład, teoria gier, która zaprowadzi nas do kwadratów magicznych. Albo inaczej: po złotych prostokątach można przejść do słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata lub wejść w jakąkolwiek inną matematyczną ścieżkę.

Żyjemy w pasjonującym dla matematyki okresie. Całkiem niedawno rozwiązano kilka z jej najtrudniejszych problemów. Niekiedy korzystano przy tym z możliwości, jakich dostarcza nowoczesny sprzęt obliczeniowy, ale w wielu wypadkach sprzęt ten był bezradny. Problem czterech barw rozwiązano za pomocą komputera, jednak hipotezy Riemanna, o której mowa w ostatnim rozdziale książki, nie udało się rozstrzygnąć ani za pomocą komputera, ani innych środków.

Matematyka jest dostępna dla wszystkich. Popularność gry logicznej sudoku jest dowodem na to, że ludzie mogą uprawiać matematykę (nawet o tym nie wiedząc) i jeszcze się przy tym doskonale bawić. W matematyce, tak jak w sztuce lub muzyce, pojawiają się geniusze, ale nie wypełniają oni wszystkich kart historii tej dziedziny. Spotkacie wielu czołowych matematyków, pojawiających się w kilku rozdziałach tej książki. Leonhard Euler, którego trzechsetlecie urodzin minęło w 2007 roku, jest na tych stronach częstym gościem. Jednak prawdziwy postęp matematyki jest dziełem wielu uczonych i to właśnie liczne rzesze matematyków budowały jej potęgę na przestrzeni stuleci. Wybór 50 tematów jest siłą rzeczy wyborem osobistym, starałem się jednak zachować pewną równowagę. Są zagadnienia codzienne i zaawansowane, matematyka czysta i stosowana, abstrakcyjna i konkretna, stara i nowa. Matematyka jest wszakże jednością i trudność przy pisaniu tej książki polegała nie na tym, co wybrać, lecz co pominąć. Teorii mogłoby być 500, uznajmy jednak, że 50 wystarczy na dobry początek drogi przez świat matematyki.

1 Zero

W dzieciństwie wchodzimy niepewnie w krainę liczb. Dowiadujemy się, że jedynka zajmuje pierwsze miejsce w „alfabecie liczbowym”, a za nią tłoczą się kolejne liczebniki: 2, 3, 4, 5, ... Właśnie do tego te liczby służą: do liczenia rzeczywistych obiektów – jabłek, pomarańczy, bananów czy gruszek. Dopiero w późniejszym wieku uczymy się rachować jabłka znajdujące się w pudełku, w którym... ich nie ma.

OŚ CZASU (rok)

700 p.n.e.

W babilońskim systemie liczbowym występuje zero jako znacznik miejsca.

628

Brahmagupta używa zera i określa zasady jego użycia.

830

Mahawira przedstawia swoje poglądy na temat roli zera wobec innych liczb.

1100

Bhaskara używa 0 jako symbolu algebraicznego i spisuje reguły operowania nim.

1202

Fibonacci dodaje 0 do hindusko-arabskiego systemu cyfr 1, …, 9, lecz nie traktuje go na równi z pozostałymi cyframi.

Nawet starożytni Grecy, którzy wręcz skokowo rozwijali nauki przyrodnicze i matematykę, a także Rzymianie, godni podziwu za dokonania inżynieryjne, napotykali na trudności w policzeniu jabłek w pustym pudełku. Nie wymyślili nawet nazwy na „nic”. Rzymianie mieli swoje sposoby na tworzenie liczb z symboli I, V, X, L, C, D i M, ale brakowało im 0. Nie mieli możliwości policzenia „niczego”.

Jak doszło do przyjęcia zera? Sądzi się, że symbol oznaczający „nic” zrodził się tysiące lat temu. Pojęcia zera w różnych postaciach używała cywilizacja Majów na ziemiach dzisiejszego Meksyku. Nieco później astronom Klaudiusz Ptolemeusz, inspirowany naukami Babilończyków, stosował symbol pokrewny naszemu współczesnemu 0 dla zaznaczenia miejsca w swoim zapisie pozycyjnym. W tej roli zero pozwalało odróżniać np. liczby takie jak (w naszej współczesnej notacji) 75 i 705, które Babilończycy rozróżniali jedynie na podstawie kontekstu. Nasuwa się tu porównanie z wprowadzeniem przecinka do języka – w obu wypadkach chodzi o ułatwienie odczytania poprawnego znaczenia. Ale tak jak przecinkowi towarzyszą reguły jego stosowania, tak i używanie zera musi być opatrzone odpowiednimi zasadami.

Hinduski matematyk Brahmagupta z VII w. traktował zero jako „liczbę”, a nie tylko znacznik miejsca w zapisie pozycyjnym. Określił reguły jego stosowania, wśród których znalazły się następujące: „suma liczby dodatniej i zera jest liczbą dodatnią” oraz „suma zera i zera jest równa zeru”. Takim podejściem Brahmagupta wyprzedzał swoich współczesnych. W krajach Zachodu ten hindusko-arabski system liczbowy, zawierający zero jako liczbę, propagował Leonardo z Pizy, zwany Fibonaccim, w swoim dziele Liber Abaci (Księga rachunków), opublikowanym po raz pierwszy w 1202 roku. Wychowany w Afryce Północnej, dobrze wykształcony w hindusko-arabskiej arytmetyce, docenił potęgę dodatkowego symbolu0 w połączeniu z hinduskimi znakami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Dorzucenie zera do systemu liczbowego stworzyło jednak problem, który dostrzegł już Brahmagupta: jak traktować tego „intruza”? Hinduski matematyk nadał sprawie zera właściwy kierunek, choć jego wskazówki pozostawały dość niejasne. Jak wprowadzić zero do istniejącego systemu arytmetyki w sposób bardziej precyzyjny? Niektóre rozwiązania narzucały się same. Zero doskonale łączyło się z dodawaniem i mnożeniem, jednakże odejmowanie i dzielenie z trudem współgrały z „obcym”. Potrzebne były nowe znaczenia, które pozwoliłyby zeru dostosować się do przyjętej arytmetyki.

Jak działa zero? Dodawanie i mnożenie z udziałem zera jest proste i bezsporne. Można oczywiście dodać 0 do liczby 10 i otrzymać 100, ale tu będziemy rozumieli słowo „dodać” w sposób bardziej przyziemny, jako działanie liczbowe. Dodanie 0 do liczby pozostawia ją niezmienioną, podczas gdy pomnożenie 0 przez dowolną liczbę daje zawsze wynik 0. Na przykład 7 + 0 = 7 oraz 7 ∙ 0 = 0. Odejmowanie też jest proste, ale wynik może okazać się liczbą ujemną: 7 – 0 = 7 i 0 – 7 = –7; natomiast dzielenie z użyciem zera powoduje trudności.

Wyobraźmy sobie, że mamy odmierzyć prętem pewien odcinek, i przypuśćmy, że pręt ma długość 7 jednostek. Chcemy wiedzieć, ile razy możemy odłożyć pręt wzdłuż danego odcinka. Jeśli jego długość jest równa 28 jednostkom, to odpowiedzią jest 28 dzielone przez 7, czyli symbolicznie 28 : 7 = 4. Takie dzielenie można zapisać lepiej:

a wtedy tę samą zależność możemy wyrazić w postaci iloczynu: 28 = 7 ∙ 4 po wymnożeniu „na krzyż”. Jak w takim razie wyobrazić sobie 0 dzielone przez 7? Ułatwmy sobie poszukiwanie odpowiedzi, oznaczając wynik tego dzielenia przez a. Wtedy

co, po pomnożeniu „na krzyż”, prowadzi do równoważnego równania 0 = 7 ∙ a. Jeśli tak, to jedyną możliwą wartością a jest właśnie 0, jako że iloczyn dwóch liczb jest równy 0 tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa 0. Oczywiście nie jest to 7, zatem zerem musi być a.

Nie tu jednak kryje się największa trudność związana z zerem. Punktem krytycznym jest dzielenie przez 0. Gdybyśmy spróbowali postąpić z  tak jak postąpiliśmy z , otrzymalibyśmy równanie:

Po pomnożeniu „na krzyż”: 0 ∙ b = 7 otrzymamy nonsensowną równość: 0 = 7. Dopuszczając traktowanie jako liczby, szykujemy sobie liczbową katastrofę na wielką skalę. Można tego uniknąć, stwierdzając że nie jest określone. Nie wolno nadawać jakiegokolwiek znaczenia działaniu dzielenia liczby 7 (lub dowolnej innej) przez 0, więc po prostu nie zezwalamy na takie działanie – podobnie jak nie zezwalamy na stawianie przecinka w śro,dku słowa bez popadania w absurd.

Idąc śladami Brahmagupty, XII-wieczny matematyk hinduski Bhaskara rozważał dzielenie przez 0 i doszedł do wniosku, że za wynik dzielenia liczby przez 0 należy uznać nieskończoność. To brzmi rozsądnie, gdyż dzielenie liczby przez liczbę bardzo małą[1] daje bardzo duży wynik. Na przykład 7 dzielone przez jedną dziesiątą to 70, a dzielone przez jedną setną to 700. Zmniejszając liczbę w mianowniku, otrzymamy coraz większe wyniki. W wypadku ostatecznej „małości”, czyli dla samego zera, wynikiem powinna być nieskończoność. Przyjmując jednak taki sposób myślenia, stajemy przed koniecznością wyjaśnienia jeszcze dziwniejszego pojęcia – nieskończoności, a zmagania z nieskończonością są jeszcze trudniejsze. Nieskończoność (standardowo oznaczana symbolem ∞) nie poddaje się zwykłym regułom arytmetyki i przez to nie jest zwyczajną liczbą.

Wszystko o „niczym”

Suma zera i liczby dodatniej jest liczbą dodatnią

Suma zera i liczby ujemnej jest liczbą ujemną

Sumą liczby dodatniej i liczby ujemnej jest ich różnica; albo, jeśli są równe, zero

Zero podzielone przez liczbę ujemną lub dodatnią daje albo zero, albo liczbę wyrażającą się jako ułamek z zerem w liczniku i skończoną wielkością w mianowniku

Brahmagupta, 628 n.e.

Jeśli tyle kłopotów sprawia , to co powiedzieć o jeszcze dziwniejszym dzieleniu ? Gdyby przyjąć = c, to po pomnożeniu otrzymamy równanie 0 = 0 ∙ c i w konsekwencji prosty wniosek, że 0 = 0. Nie jest to specjalnie pouczające, ale też nie jest bzdurne. W istocie rzeczy, c może być dowolną liczbą, nie jest to więc sytuacja niemożliwa. Dochodzimy do wniosku, że może być czymkolwiek; w kulturalnych kręgach matematycznych nazywa się to wyrażeniem „nieokreślonym”.

Tak czy owak, jeśli chcemy przystąpić do dzielenia przez zero, musimy pamiętać, że najlepiej wykluczyć takie działanie z listy naszych metod obliczeniowych. Arytmetykę można zupełnie dobrze uprawiać i bez niego.

Do czego służy zero? Bez zera po prostu nie potrafimy się obejść. Od zera zależy postęp nauki. Mówimy o zerowej długości geograficznej, o 0 stopni na skali temperatury, mówimy też o zerowej energii czy zerowym ciążeniu grawitacyjnym. Do języka potocznego zero weszło w postaci godziny zero czy nawet wyrażenia: zero tolerancji.

Można byłoby jednak wykorzystać zero jeszcze lepiej. Jeśli znajdziemy się w Nowym Jorku na 5. alei i wstąpimy do Empire State Building, znajdziemy się we wspaniałym holu wejściowym na piętrze numer 1 (a nie 0). Taka numeracja odwołuje się do roli porządkowej, jaką mają liczby. 1 oznacza „pierwsze”, 2 „drugie” i tak dalej, aż do liczby 102 oznaczającej „sto drugie”. W Europie posługujemy się pojęciem piętra numer 0, choć taka numeracja jest właściwie nieużywana (mówimy raczej o parterze).

Matematyka nie poradziłaby sobie bez zera. Znajduje się ono w samym centrum matematycznych pojęć, dzięki którym funkcjonują systemy liczbowe, algebra i geometria. Na osi liczbowej 0 oddziela liczby dodatnie od ujemnych, zajmuje więc pozycję uprzywilejowaną. W systemie dziesiętnym zero służy jako znacznik miejsca, dzięki czemu możemy operować liczbami zarówno bardzo dużymi, jak i mikroskopijnie małymi.

Przez minione stulecia ludzkość zaakceptowała zero i nauczyła się je używać; okazało się, że jest ono jednym z największych wynalazków człowieka. XIX-wieczny matematyk amerykański G.B. Halsted, parafrazując fragment ze Snu nocy letniej Williama Szekspira, opisał zero jako motor postępu, który „zwiewne nicości przyszpila nazwą do miejsca w przestrzeni, do obrazu, symbolu, lecz i moc nadaje użyteczną, hinduskiej będąc cechą rasy, z której byt wywodzi”[2].

Zero musiało wydawać się dziwne, gdy je wprowadzano. Cóż, matematycy mają zwyczaj przywiązywania się do dziwnych pojęć, jeśli te z czasem okazują się użyteczne. Współczesny odpowiednik zera można odnaleźć w teorii zbiorów, w której przez zbiór rozumie się kolekcję, mnogość elementów. W tej teorii symbol ∅ oznacza zbiór bez żadnego elementu, tak zwany zbiór pusty. Jest to rzeczywiście dziwne pojęcie, ale jednak niezbędne – podobnie jak zero.

TEORIA W PIGUŁCE:

Nic – to dopiero coś

2 Systemy liczbowe

System liczbowy to sposób na poradzenie sobie z pojęciem ilości. W różnych okresach historycznych i w różnych kulturach stosowano rozmaite metody, poczynając od prymitywnego „jeden, dwa, trzy, dużo” do wysoce wyrafinowanego pozycyjnego systemu dziesiętnego, którego używamy dzisiaj.

OŚ CZASU (rok)

30 000 p.n.e.

Paleolityczne ludy Europy wycinają znaki liczbowe na kościach.

2000 p.n.e.

Symboliczny zapis liczb w Babilonii.

600

W Indiach stosuje się zapis liczbowy, będący zalążkiem dzisiejszego systemu dziesiętnego.

1200

Rozpowszechnia się hindusko-arabski system zapisu cyfr 1, …, 9 oraz zera.

1600

Symbole zapisu dziesiętnego wyraźnie przypominają już dzisiejszą postać.

W codziennym praktycznym życiu Sumeryjczycy i Babilończycy, którzy ok. 4000 lat temu zaludniali obszary należące dzisiaj do Syrii, Jordanii i Iraku, stosowali system pozycyjny, a więc taki zapis, w którym wartość całej liczby rozpoznajemy po pozycjach, jaką zajmują symbole. Podstawową jednostką w ich systemie była liczba 60 – dlatego mówimy o systemie sześćdziesiątkowym. Do dziś natrafiamy na jego pozostałości: minuta ma 60 sekund, w godzinie mieści się 60 minut. Przy pomiarze kątów nadajemy kątowi pełnemu miarę 360 stopni – wbrew zwolennikom systemu metrycznego, którzy chcieliby nadać mu wartość 400 gradów (tak aby kąt prosty był równy 100 gradom).

Choć nasi starożytni przodkowie używali liczb przede wszystkim do celów praktycznych, to istnieją przesłanki, by sądzić, że te wczesne kultury potrafiły docenić urodę samej matematyki, zgłębiając ją również w oderwaniu od potrzeb życia codziennego. Eksploracja ta obejmowała zagadnienia należące do dzisiejszej algebry, a także własności figur geometrycznych.

W egipskim systemie liczbowym od XIII w. p.n.e. używano podstawy równej 10, a liczby zapisywano znakami hieroglificznymi. I choć Egipcjanie opracowali również metodę postępowania z ułamkami, to dzisiejszy pozycyjny system dziesiętny pochodzi od Babilończyków; później udoskonalili go Hindusi. Jego zasadniczą zaletą jest to, że pozwala na zapisywanie liczb zarówno bardzo małych, jak i bardzo dużych. Ograniczając się jedynie do hindusko-arabskich cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 można stosunkowo łatwo wykonywać skomplikowane obliczenia. Aby się o tym przekonać, przyjrzyjmy się systemowi Rzymian. System ten wystarczał do zaspokojenia prostych potrzeb liczbowych, jednak tylko specjaliści potrafili przeprowadzać w nim obliczenia.

System rzymski Podstawowymi symbolami stosowanymi przez Rzymian były pełne jednostki (I, X, C i M) oraz ich „połówki” (V, L i D). Pozostałe liczby zapisywano jako ich kombinacje. Niektórzy przypuszczają, że liczby I, II, III i IIII odzwierciedlają układ palców, V oddaje kształt dłoni, a odwrócenie tego znaku i połączeniu z drugim daje symbol X, reprezentujący dwie dłonie, czyli dziesięć palców. C wywodzi się od centum, a M od mille – łacińskich terminów oznaczających, odpowiednio, sto i tysiąc. Rzymianie używali również symbolu S na oznaczenie „połowy” oraz systemu ułamków opartego na liczbie 12.

System rzymski zawierał reguły dopisywania symboli „przed” i „po”, wydaje się jednak, że nie były one stosowane powszechnie. Starożytni Rzymianie woleli pisać IIII; oznaczenie IV pojawiło się dopiero później. Oto podstawowe liczby systemu rzymskiego wraz z uzupełnieniami wprowadzonymi w średniowieczu.

Cesarstwo rzymskie

S połowa

I jeden

V pięć

X dziesięć

L pięćdziesiąt

C sto

D pięćset

M tysiąc

Średniowieczne uzupełnienia

V̄ pięć tysięcy

X̄ dziesięć tysięcy

L̄ pięćdziesiąt tysięcy

C̄ sto tysięcy

D̄ pięćset tysięcy

M̄ milion

Posługiwanie się rzymskimi liczbami nie jest sprawą łatwą. Na przykład, znaczenie zapisu MMMCDXLIIII staje się jasne dopiero po wprowadzeniu wirtualnych nawiasów: (MMM)(CD) (XL)(IIII). Wtedy możemy to odczytać jako 3000 + 400 + 40 + 4 = 3444. Spróbujcie jednak wykonać dodawanie MMMCDXLIIII + + CCCXCIIII. Wprawny rzymski rachmistrz zastosowałby tu z pewnością jakieś swoje własne sposoby uproszczenia obliczenia, jednakże nam obliczenie sumy bez przeniesienia obliczeń do systemu dziesiętnego i przetłumaczenia otrzymanego wyniku z powrotem na zapis rzymski sprawiłoby sporo kłopotu:

Dodawanie

3444 →

MMMCDXLIIII

+  394 →

CCCXCIIII

= 3838 →

MMMDCCCXXXVIII

Mnożenie dwóch liczb w systemie rzymskim sprawia znacznie większe trudności, a niekiedy było wręcz niemożliwe, nawet dla Rzymian! Jeśli chcemy obliczyć 3444 ∙ 394, musimy odwołać się do zapisów wprowadzonych w średniowieczu.

Mnożenie

3444 →

MMMCDXLIIII

∙  394 →

CCCXCIIII

= 1 356 936 →

M̄C̄C̄C̄L̄V̄X̄CMXXXVI

Rzymianie nie dysponowali odrębnym symbolem dla zera. Gdyby zapytać obywatela Rzymu, wegetarianina, ile butelek wina opróżnił tego dnia, ten mógłby napisać „III”, ale gdyby pytanie dotyczyło liczby spożytych kurczaków, nie umiałby napisać „0”. Pozostałości systemu rzymskiego można odnaleźć w numeracji stron niektórych książek (choć nie tej) oraz na frontach niektórych budynków. Pewnych konstrukcji liczbowych, takich jak na przykład MCM do oznaczenia liczby 1900, Rzymianie nigdy nie używali, wprowadzono je w czasach nowożytnych z powodów stylistycznych. Sami Rzymianie napisaliby MDCCCC. Czternasty król Francji, znany dziś jako Ludwik XIV, wolał, by znano go jako Ludwika XIIII; żądał też, by o godzinie czwartej jego zegarki wskazywały godzinę IIII.

Zegar Ludwika XIIII

Dziesiętne liczby naturalne Gdy mówimy „liczba”, w sposób naturalny rozumiemy „liczba dziesiętna”. System dziesiętny opiera się na liczbie dziesięć i cyfrach 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. W istocie rzeczy opiera się on na „dziesiątkach” i „jednościach”, ale jedności także mogą być reprezentowane jako liczby o podstawie równej 10. Zapisując liczbę 394, możemy określić jej znaczenie, mówiąc, iż składa się ona z 3 setek, 9 dziesiątek i 4 jedności, moglibyśmy ją nawet tak zapisać:

394 = 3 ∙ 100 + 9 ∙ 10 + 4 ∙ 1

To samo możemy przedstawić za pomocą potęg liczby 10:

394 = 3 ∙ 10^2 + 9 ∙ 10^1 + 4 ∙ 10^0,

gdzie 10^2 = 10 ∙ 10, 10^1 = 10, a ponadto umawiamy się, że 10^0 = 1. W takim zapisie łatwiej dostrzec dziesiętną podstawę naszego codziennego systemu liczbowego – systemu, dzięki któremu dodawanie i mnożenie stają się przejrzyste.

Przecinek dziesiętny Do tej pory zajmowaliśmy się zapisem liczb całkowitych. A jak system dziesiętny radzi sobie z częściami liczb, takimi jak ?

„Odwrotności” liczb 10, 100, 1000 możemy traktować jako ujemne potęgi liczby 10. Wtedy otrzymujemy:

co można przedstawić w postaci 0,572. Przecinek dziesiętny wskazuje, gdzie zaczynają się ujemne potęgi liczby 10. Gdy dopiszemy otrzymany wynik do dziesiętnego zapisu liczby 394, otrzymamy dziesiętne rozwinięcie liczby 394, czyli po prostu 394,572.

Zapis dziesiętny dużych liczb może być bardzo długi. W takich wypadkach możemy posłużyć się tzw. notacją naukową. Na przykład liczbę 1 356 936 892 możemy zapisać jako 1,356936892 ∙ 10^9, co w kalkulatorach lub na ekranie komputera przybiera często postać 1,356936892 ∙ 10E9. Wykładnik potęgi, 9, jest o jeden mniejszy od liczby cyfr w zapisie liczby, natomiast litera E jest pierwszą literą angielskiego słowa „exponent”, czyli „wykładnik”. Niekiedy potrzebujemy jeszcze większych liczb, na przykład by zapisać liczbę atomów wodoru w obserwowalnym wszechświecie. Szacuje się ją na około 1,7 ∙ 10^77. Z kolei 1,7 ∙ 10–77 (z ujemnym wykładnikiem) jest liczbą bardzo małą i zapisanie jej za pomocą notacji naukowej nie sprawiło zbyt dużych trudności. Gdybyśmy mieli operować symbolami rzymskimi, nie potrafilibyśmy sobie nawet wyobrazić takich liczb.

Zera i jedynki O ile podstawa równa 10 jest stosowana na co dzień, o tyle w niektórych zastosowaniach wygodniej używać innych podstaw. Potęga informatyki bierze się z systemu dwójkowego (zwanego też binarnym), w którym podstawa jest równa 2. Uroda tego systemu polega na tym, że każdą liczbę można zapisać za pomocą tylko dwóch cyfr: 0 i 1. Ceną za tę oszczędność cyfr są bardzo długie wyrażenia, którymi zapisujemy liczby.

Potęgi dwójki

W systemie dziesiętnym

2^0

1

2^1

2

2^2

4

2^3

8

2^4

16

2^5

32

2^6

64

2^7

128

2^8

256

2^9

512

2^10

1024

Jak wygląda liczba 394 w zapisie binarnym? Tym razem mamy do czynienia z potęgami dwójki, więc po niezbędnych obliczeniach otrzymamy postać następującą:

394 = 1 ∙ 256 + 1 ∙ 128 + 0 ∙ 64 + 0 ∙ 32 + 0 ∙ 16 + 1 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 1.

Wypisując kolejno otrzymane zera i jedynki, stwierdzamy, że binarnym zapisem liczby 394 jest 110001010.

Wyrażenia binarne bywają bardzo długie, dlatego w obliczeniach informatycznych stosuje się także inne podstawy systemów liczbowych, na przykład system ósemkowy (z podstawą równą 8) lub szesnastkowy (z podstawą równą 16). W systemie ósemkowym potrzebujemy jedynie ośmiu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, podczas gdy w szesnastkowym używamy aż szesnastu symboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Symbolowi A odpowiada liczba 10, zatem w systemie szesnastkowym liczba 394 przybiera postać 18A. Proste jak ABC, które – zauważmy – jest w systemie dziesiętnym równe 2748!

TEORIA W PIGUŁCE:

Zapisywanie liczb

3 Ułamki

Ułamek jest „liczbą ułamaną” – dosłownie. Rozbijając liczbę całkowitą na części, użyjemy ułamków. Odwołajmy się do tradycyjnego przykładu, czyli nieśmiertelnego tortu, i podzielmy go na trzy jednakowe porcje.

OŚ CZASU (rok)

1800 p.n.e.

W kulturach babilońskich używa się ułamków.

1600 p.n.e.

Egipcjanie używają ułamków z licznikiem 1.

100

Chińczycy wypracowują system obliczeń ułamkowych.

1202

Leonard z Pizy (Fibonacci) popularyzuje zapis z użyciem kreski ułamkowej.

1585

Simon Stevin wprowadza teorię ułamków dziesiętnych.

1700

Kreska ułamkowa „—” wchodzi do powszechnego użycia (jak w ).

Osoba, której przypadną dwie z tych trzech porcji, dostanie część odpowiadającą ułamkowi . Drugiemu nieszczęśnikowi zostanie tylko jedna z tych trzech porcji, dostanie część odpowiadającą ułamkowi . Składając ponownie obie te części, otrzymamy z powrotem cały tort, co można zapisać za pomocą ułamków: + = 1, gdzie 1 reprezentuje całość tortu.

A oto kolejny przykład. Zapewne korzystaliście nieraz z wyprzedaży i widzieliście koszulę, sprzedawaną za cztery piąte pierwotnej ceny. Tu ułamek przybiera postać . Moglibyśmy też stwierdzić, że koszula potaniała o jedną piątą i wtedy użyjemy ułamka . Widzimy, że + = 1, gdzie tym razem 1 oznacza pierwotną cenę.

Ułamek ma zawsze postać liczby całkowitej zapisanej „nad” liczbą całkowitą. Dolną liczbę nazywamy „mianownikiem”, ponieważ mówi o tym, na jakie części dzielimy całość, natomiast górną nazywamy „licznikiem”, gdyż informuje o tym, ile takich części jest w ułamku. Tak więc w ogólnie przyjętym zapisie ułamek wygląda tak:

Wracając do przykładu tortu: porcja, którą chcielibyście wybrać, to ; mianownikiem jest 3, licznikiem 2. Ułamek powstał z dwóch pojedynczych trzecich części tortu.

Mamy również ułamki takie, jak (zwane ułamkami niewłaściwymi), w których licznik jest większy od mianownika. Dzieląc 14 przez 5 otrzymujemy iloraz 2 i resztę 4, co można zapisać jako liczbę „mieszaną” 2. Mieści się w niej liczba całkowita 2 oraz ułamek „właściwy” . Gdy rodził się współczesny zapis algebraiczny, zapisywano taką liczbę w postaci 2. Ułamki przedstawia się zazwyczaj tak, aby licznik i mianownik („góra” i „dół”) nie miały wspólnych dzielników. Na przykład, wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika ułamka jest 2, ponieważ 8 = 2 ∙ 4 oraz 10 = 2 ∙ 5. Zapiszmy ten ułamek inaczej: = ; teraz możemy „skrócić” licznik i mianownik o czynnik 2 i otrzymujemy = , prostszą postać tej samej wartości. Matematycy nazywają ułamki „liczbami wymiernymi”, jako że reprezentują stosunek dwóch liczb[3]. To liczby, które już Grecy potrafili „mierzyć”.

Dodawanie i mnożenie Ułamki mają pewną zaskakującą cechę: łatwiej je mnożyć niż dodawać. Mnożenie liczb całkowitych jest tak żmudne, że trzeba było wymyślać różne sprytne sposoby, by je sprawnie wykonywać. W wypadku ułamków trudniejsze jest dodawanie i to ono właśnie wymaga dodatkowej inwencji obliczeniowej.

Zacznijmy od mnożenia ułamków. Kupując za cztery piąte ceny koszulę, która pierwotnie kosztowała 100 zł, trzeba zostawić w kasie 80 zł. Kwotę 100 zł należy podzielić na pięć części po 20 zł każda; wtedy cztery takie części to 4 ∙ 20 = 80, czyli nowa cena koszuli po obniżce.

Wyobraźmy sobie, że kierownik sklepu zauważa, iż koszule wcale się dobrze nie sprzedają. Obniża więc cenę jeszcze bardziej, ogłaszając, że nowa cena to ceny wyprzedaży. Można teraz stać się właścicielem koszuli za jedyne 40 zł. Nowa cena to ∙ ∙ 100, czyli 40. Aby pomnożyć dwa ułamki, wystarczy pomnożyć mianownik przez mianownik oraz licznik przez licznik:

Gdyby kierownik zdecydował się dokonać obu obniżek za jednym zamachem, mógłby ogłosić sprzedaż koszul za cztery dziesiąte pierwotnej ceny 100 zł – i byłoby to ∙ 100, czyli 40 zł.

Dodawanie dwóch ułamków to całkiem inna sprawa. Obliczenie sumy + nie sprawia kłopotu, bo w obu ułamkach mianownik jest taki sam. Wtedy po prostu dodajemy liczniki i otrzymujemy , a więc 1. Ale jak dodać dwie trzecie tortu do czterech piątych tortu? Jak obliczyć + ? Gdybyż to można było napisać po prostu + = = ! Niestety, nie można.

Aby poprawnie dodawać ułamki, potrzebne jest inne podejście. Gdy chcemy zsumować i , musimy zacząć od wyrażenia obu składników jako ułamków o tym samym mianowniku. Najpierw pomnóżmy górę i dół ułamka przez 5. Otrzymujemy . Teraz pomnóżmy górę i dół ułamka przez 3. Wynik to . Oba ułamki mają już wspólny mianownik i dodanie jednego do drugiego sprowadza się do dodania ich liczników:

Ułamki dziesiętne W nauce, a także w większości zastosowań matematyki ułamki zapisuje się najczęściej w postaci dziesiętnej. Ułamek jest tym samym co , gdzie w mianowniku występuje liczba 10, dzięki czemu możemy go zapisać jako 0,8.

Łatwo przekształcić do postaci dziesiętnej ułamki, które mają w mianowniku 5 albo 10, ale jak to zrobić z ułamkiem, powiedzmy, ? Jedyna wiedza, jaka będzie nam do tego potrzebna, to fakt, że gdy dzielimy jedną liczbę całkowitą przez drugą, to albo ta druga mieści się w pierwszej pewną całkowitą liczbę razy, albo zostaje nadwyżka, którą nazywamy „resztą”.

Przepis na przekształcenie ułamka zwykłego w ułamek dziesiętny przedstawimy na przykładzie .

• Spróbuj podzielić 7 przez 8. Nie można tego zrobić. Innymi słowy, 8 mieści się 0 razy w liczbie 7 i reszta jest równa 7. Odnotowujemy to, zapisując 0, a po nim przecinek dziesiętny: „0,”.

• Teraz podziel 70 (reszta z poprzedniego dzielenia razy 10) przez 8. Liczba 8 mieści się 8 razy w 70, gdyż 8 ∙ 8 = 64, otrzymujemy zatem wynik 8 z resztą 6 (70 – 64). Dopisujemy 8 do poprzedniego zapisu: „0,8”.

• Dalej, dzielimy liczbę 60 (reszta z poprzedniego dzielenia razy 10) przez 8. Ponieważ 7 ∙ 8 = 56, więc otrzymujemy 7 z resztą równą 4 – i znów dopisujemy obliczony wynik, co daje nam: „0,87”.

• Dzielimy 40 (reszta z poprzedniego dzielenia razy 10) przez 8. Otrzymujemy dokładnie pięć z resztą równą zero. Gdy dochodzimy do reszty 0, kończymy obliczenia. Ostateczny wynik to: 0,875.

Przy stosowaniu tego przepisu do innych ułamków może się okazać, że obliczenia nigdy się nie kończą! Moglibyśmy liczyć i liczyć! Gdybyśmy spróbowali przekształcić na przykład w ułamek dziesiętny, odkrylibyśmy, że na każdym etapie dzielenie 20 przez 3 daje iloraz 6 i resztę 2. Musimy wtedy znowu dzielić 20 przez 3 – i nigdy nie doszlibyśmy do momentu, w którym reszta z dzielenia jest równa 0. W tym wypadku otrzymamy nieskończony ułamek dziesiętny 0,666666... Zapisujemy go w postaci 0,(6), aby zaznaczyć, że mamy do czynienia z tzw. ułamkiem dziesiętnym okresowym.

Ułamków, dla których obliczenia przedstawione w powyższym przepisie nigdy się nie kończą, jest wiele. Ciekawym przykładem jest . Otrzymujemy tu ułamek dziesiętny 0,714285714285714285... Widać, że nieustannie powtarza się w nim ciąg cyfr 714285. Jeśli zamiana ułamka zwykłego w dziesiętny prowadzi do powtarzającego się ciągu cyfr i nie jest możliwe uzyskanie skończonego rozwinięcia dziesiętnego, wtedy używamy zapisu z wykorzystaniem nawiasów. Ułamek zapisujemy jako 0,(714285).[4]

Ułamki egipskie Egipcjanie żyjący w drugim tysiącleciu p.n.e. oparli system ułamków na hieroglifach oznaczających ułamki proste, czyli takie, które w liczniku mają 1. Wiemy o tym z papirusu Rhinda, przechowywanego w British Museum. System był tak skomplikowany, że tylko ludzie specjalnie wyszkoleni znali jego wewnętrzne sekrety i potrafili przeprowadzać poprawne obliczenia.

W Egipcie używano niektórych uprzywilejowanych ułamków, jak choćby , jednakże wszystkie inne przedstawiano za pomocą ułamków prostych, takich jak , , czy nawet . Były to „ułamki podstawowe”, za pomocą których wyrażano wszystkie pozostałe. Na przykład „ułamkiem podstawowym” nie jest, ale można go przedstawić jako sumę ułamków prostych:

przy czym w takiej reprezentacji żaden ułamek prosty nie mógł się powtórzyć. W tym systemie można niekiedy zapisać ułamek na kilka sposobów, dających krótsze lub dłuższe wyrażenia. Na przykład

Metoda „egipskiego rozwinięcia” ułamków miała zapewne niewielką przydatność praktyczną, stała się wszakże inspiracją dla wielu pokoleń matematyków i zrodziła wiele matematycznych wyzwań. Niektóre z nich pozostały bez odpowiedzi do dzisiaj. Na matematycznego śmiałka wciąż czeka na przykład pełna analiza metod wyszukiwania najkrótszego egipskiego rozwinięcia.

TEORIA W PIGUŁCE:

Liczba nad liczbą

4 Kwadraty i pierwiastki

Jeśli lubicie rysować kwadraty z kropek, myślicie podobnie jak Pitagorejczycy. Bractwo skupione wokół swojego przywódcy Pitagorasa, pamiętanego przede wszystkim za „to twierdzenie”, wysoce sobie ceniło taką czynność. Pitagoras urodził się na greckiej wyspie Samos, natomiast jego tajne stowarzyszenie religijne rozkwitało w południowej Italii. Pitagorejczycy wierzyli, że matematyka jest kluczem do natury wszechświata.

OŚ CZASU (rok)

1750 p.n.e.

Babilończycy układają tablice pierwiastków kwadratowych.

525 p.n.e.

Pitagorejczycy badają liczby kwadratowe interpretowane geometrycznie.

około 300 p.n.e.

W Księdze V Elementów Euklides omawia teorię liczb niewymiernych Eudoksosa.

630

Brahmagupta podaje metody obliczania pierwiastków kwadratowych.

1550

Pojawia się symbol √ oznaczający pierwiastek kwadratowy.

1872

Richard Dedekind buduje teorię liczb niewymiernych.

Podliczając kropki, widzimy, że pierwszy „kwadrat” z lewej składa się tylko z jednej. Dla Pitagorejczyków jedynka była najważniejszą liczbą, nasyconą duchową egzystencją. Zaczęliśmy więc całkiem dobrze. Zliczając dalej kropki w kolejnych kwadratach, otrzymujemy liczby „kwadratowe”: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... To są tak zwane „pełne” kwadraty. Kolejną liczbę kwadratową można otrzymać z poprzedniej, dodając do kwadratu kropki na górze i po prawej stronie. Na przykład 9 + 7 = 16. Pitagorejczycy nie ograniczali się do kwadratów. Rozważali także inne figury: trójkąty, pięciokąty (figury z pięcioma bokami), a także inne figury wielokątne (z wieloma bokami).

Liczby trójkątne przypominają stosy kamieni. Kolejne stosy składają się z 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36... kropek. Aby obliczyć kolejną liczbę trójkątna, wystarczy do poprzedniej liczby dodać kropki pod najniższym rzędem. Na przykład, jaka liczba trójkątna następuje po 10? Będzie ona miała 5 kropek w najniższym rzędzie, zatem po prostu sumujemy kropki: 10 + 5 = 15.

Porównując liczby kwadratowe i trójkątne, zauważamy, że w jednych i drugich pojawia się liczba 36. Oba rodzaje liczb łączy jednak związek dużo bardziej zadziwiający. Co otrzymamy, gdy dodamy dwie sąsiednie liczby trójkątne? Sprawdźmy to i zapiszmy wyniki w tabelce.

Suma dwóch sąsiednich liczb trójkątnych

1 + 3

4

3 + 6

9

6 + 10

16

10 + 15

25

15 + 21

36

21 + 28

49

28 + 36

64

Słusznie! Gdy dodamy dwie kolejne liczby trójkątne, otrzymamy liczbę kwadratową. Można się o tym przekonać, spoglądając na zamieszczony na marginesie strony „dowód bez słów”. Rozważmy kwadrat złożony z 4 rzędów po 4 kropki i poprowadźmy przezeń przekątną, tak jak na rysunku. Kropki powyżej prostej składają się na liczbę trójkątną, a kropki poniżej tworzą następną taką liczbę. Ta obserwacja odnosi się do każdego kwadratu, którego bok ma długość całkowitą. Od kropkowanych kwadratów do mierzenia ich pól już tylko mały krok. Pole kwadratu o boku 4 jest równe 4 ∙ 4 = 4^2 = 16 jednostek kwadratowych. Ogólniej, jeśli bok kwadratu ma długość x, to jego pole jest równe x^2.

Potęga x^2 jest podstawą kształtów parabolicznych. Takie kształty mają anteny odbierające sygnały satelitarne oraz lustra przednich reflektorów samochodowych. Każda parabola ma tzw. ognisko. W antenie satelitarnej czujnik umieszczony w ognisku zbiera równoległe promienie nadchodzące z przestrzeni kosmicznej, które zostały odbite od parabolicznego lustra.

W reflektorach samochodowych w ognisku jest umieszczona żarówka, która wysyła równoległe promienie światła. Sportowcy uprawiający pchnięcie kulą, rzut oszczepem lub młotem znają parabolę jako krzywą, wzdłuż której leci wyrzucony przez nich przedmiot, zanim opadnie na ziemię.

Pierwiastki kwadratowe Jeśli odwrócimy problem i zapytamy o długość boku kwadratu o danym polu, np. 16, odpowiedzią będzie oczywiście liczba 4. Tak więc pierwiastkiem kwadratowym z liczby 16 jest 4, co zapisujemy następująco: √16 = 4. Symbol √ oznaczający pierwiastek kwadratowy pojawił się w XVI wieku. Pierwiastek kwadratowy każdej liczby kwadratowej wygląda bardzo sympatycznie, jest nim bowiem liczba całkowita. Na przykład √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5 i tak dalej. Na osi liczbowej jest jednak jeszcze wiele innych liczb całkowitych, mieszczących się pomiędzy kolejnymi liczbami kwadratowymi. Są to np.: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11,...

Istnieje jeszcze inny sprytny sposób zapisywania pierwiastków kwadratowych. Tak jak x^2 oznacza liczbę kwadratową, tak pierwiastek kwadratowy z liczby x możemy zapisać jako x, co znakomicie ułatwia mnożenie potęg[5] przez dodawanie wykładników. Ta zasada leży u podstaw logarytmu, wynalezionego po tym, jak około 1600 roku nauczyliśmy się, że zadanie wymagające mnożenia można zamienić na zadanie dotyczące dodawania. To jednak zupełnie inna historia. Wszystkie wymienione wyżej liczby całkowite (niebędące liczbami kwadratowymi) mają pierwiastki kwadratowe, choć te ostatnie nie są już liczbami całkowitymi. Niemal każdy kalkulator ma przycisk √ , za pomocą którego możemy stwierdzić, że na przykład √7 = 2,645751311.

Przyjrzyjmy się bliżej √2. Liczba 2 miała dla Pitagorejczyków szczególne znaczenie jako pierwsza liczba parzysta (Grecy przypisywali liczbom parzystym kobiecość, liczbom nieparzystym – męskość; małe liczby były, według nich, odrębnymi osobowościami). Na ekranie kalkulatora otrzymamy rozwinięcie dziesiętne liczby √2, równe 1,414213562, jeśli tylko kalkulator dopuszcza tyle miejsc po przecinku. Czy jest to wartość pierwiastka z 2? Sprawdźmy przez pomnożenie: 1,414213562 ∙ 1,414213562. Wynik okazuje się równy 1,999999999. Nie daje on dokładnie liczby 2, ponieważ 1,414213562 jest jedynie przybliżeniem pierwiastka kwadratowego z 2.

Co ciekawe, przybliżenie tego pierwiastka to wszystko, na co możemy liczyć. Rozwinięcie dziesiętne liczby √2 choćby do milionów miejsc po przecinku będzie zawsze tylko przybliżeniem. √2 jest w matematyce liczbą ważną, może nie tak słynną, jak π lub e, ale na tyle istotną, że przysługuje jej własna nazwa – bywa bowiem określana jako „liczba pitagorejska”.

Czy pierwiastki kwadratowe są ułamkami? Pytanie, czy pierwiastki kwadratowe są ułamkami, wiąże się z teorią pomiarów znaną starożytnym Grekom. Załóżmy, że chcemy zmierzyć długość odcinka AB za pomocą niepodzielnej „jednostki” CD. Mierzymy więc, przykładając jednostkę CD wzdłuż odcinka AB, począwszy od punktu A. Jeśli przyłożymy ją dokładnie m razy i przy ostatnim pomiarze koniec jednostki CD dokładnie pokryje się z końcem odcinka AB (w punkcie B), uznamy, że długość AB jest po prostu równa m. W przeciwnym wypadku na przedłużeniu odcinka AB umieszczamy kopię tego odcinka i kontynuujemy pomiar za pomocą jednostki CD (patrz rysunek). Grecy wierzyli, że prędzej czy później, po użyciu n egzemplarzy AB i odmierzeniu m jednostek, koniec odcinka CD pokryje się dokładnie z końcem n-tego odcinka AB. Długość AB będzie wtedy równa m/n. Na przykład, gdyby ustawić obok siebie 3 egzemplarze AB i do ich pokrycia potrzebnych byłoby dokładnie 29 jednostek, to długość AB okazałyby się równa 29/3.

Grecy zastanawiali się również, jak zmierzyć długość boku AB (przeciwprostokątnej) w trójkącie, którego dwa pozostałe boki mają długość jednej „jednostki”. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że długość AB można zapisać w postaci √2, zatem rodzi się pytanie: czy √2 będzie się równało m/n dla jakichś liczb całkowitych m i n?

Z kalkulatora odczytaliśmy, że rozwinięcie dziesiętne √2 jest potencjalnie nieskończone, więc fakt ten (że rozwinięcie dziesiętne nie ma końca) mógłby wskazywać na to, że √2 nie jest ułamkiem. Jednakże rozwinięcie dziesiętne 0,3333333... też nie ma końca, a przecież reprezentuje ono ułamek . Zatem by rozwiązać zagadkę √2, potrzebujemy bardziej przekonujących argumentów.

Czy √2 jest ułamkiem? Dochodzimy w ten sposób do jednego z najsławniejszych dowodów matematycznych. Przebiega on według schematu szczególnie lubianego przez Greków: chodzi o metodę reductio ad absurdum. Najpierw przyjmujemy, że √2 nie może być jednocześnie ułamkiem i „nieułamkiem”. To prawo logiki, zwane prawem wyłączonego środka. W takiej logice nie ma drogi pośredniej. Tak więc Grecy zrobili coś bardzo pomysłowego. Założyli, że liczba √2 jest ułamkiem, po czym, stosując na każdym kroku ścisłe prawa logiki, doszli do sprzeczności, do „absurdu”. Prześledźmy ten tok rozumowania. Przypuśćmy, że:

Możemy nawet założyć nieco więcej, a mianowicie, że m i n nie mają wspólnych dzielników[6]. To jest w porządku, bo gdyby taki wspólny dzielnik istniał, skrócilibyśmy ułamek przed przystąpieniem do dalszych etapów dowodu. (Na przykład ułamek po skróceniu przez wspólny dzielnik 7 daje równoważny ułamek bez wspólnego dzielnika).

Podnieśmy obie strony równości √2 = do kwadratu. Otrzymujemy równość 2 = , z której wynika m^2 = 2n^2. Tu czynimy pierwszą ważną obserwację: ponieważ liczba m^2 równa się 2 razy coś[7], musi ona być parzysta. W takim razie sama liczba m nie może być nieparzysta (jako że kwadrat liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą), zatem m również jest liczbą parzystą.

Jak dotąd rozumowanie jest bez zarzutu. Jeśli m jest parzyste, to musi być równe 2 razy coś, co możemy zapisać jako m = 2k. Podnosząc teraz tę równość do kwadratu, otrzymujemy m^2 = 4k^2. Połączmy ten fakt z równością m^2 = 2n^2, by wywnioskować, że 2n^2 = 4k^2, co po podzieleniu obu stron przez 2 daje n^2 = 2k^2. Ale z podobną równością mieliśmy już do czynienia! I tak jak poprzednio, dochodzimy do wniosku, że n^2, a więc i liczba n jest parzysta. Korzystając ze ścisłych praw logiki udowodniliśmy, że obie liczby m i n są parzyste, czyli mają wspólny dzielnik 2. To przeczy przyjętemu założeniu, że m i n wspólnych dzielników nie mają. Wypływa stąd wniosek, że √2 nie może być ułamkiem.

Można również udowodnić, że żadna liczba √n (z wyjątkiem przypadków, gdy n jest liczbą kwadratową) nie może być ułamkiem. Liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamków, nazywamy liczbami „niewymiernymi”, a więc liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele.

TEORIA W PIGUŁCE:

Droga do niewymierności

Przypisy

1 Należałoby tu zastrzec, że mowa o liczbach dodatnich, a „liczba bardzo mała” jest przy tym znacząco mniejsza od dzielonej (przyp. tłum.)

2 Wykorzystano fragment Snu nocy letniej w tłumaczeniu Stanisława Barańczaka (Wyd. Znak, 2008) (przyp. tłum.)

3 W języku angielskim liczba wymierna to „rational number”, określenie wywodzące się od słowa „ratio” – stosunek dwóch wielkości (przyp. tłum.)

4 Zauważmy, że 1/7 = 0,(142857). Następnie mamy

1 • 142857 = 142857

2 • 142857 = 285714

3 • 142857 = 428571

4 • 142857 = 571428

5 • 142857 = 714285

6 • 142857 = 857142

Mamy tutaj do czynienia z tzw. liczbą kolistą. Liczba kolista to liczba n-cyfrowa, która mnożona kolejno przez 1, 2, 3,…, n–1 daje iloczyn również n-cyfrowy, składający się z tych samych cyfr tylko w innej kolejności (przyp. konsultanta).

5 O tej samej podstawie (przyp. tłum.)

6 Różnych od 1 (przyp. tłum.)

7 To „coś” jest liczbą całkowitą (przyp. tłum.)