Wartości rodzinne
W małym miasteczku na przedmieściach Londynu, gdzie nigdy nie wydarza się nic spektakularnego, moja rodzina z biegiem czasu stała się częstym tematem rozmów. Kiedy miałem naście lat, gdziekolwiek bym się znalazł, zawsze słyszałem to samo pytanie: "Ile masz rodzeństwa?".
Doskonale zdawałem sobie sprawę, że odpowiedź była już powszechnie znana. Przekazywana z ust do ust przy piwie, stała się częścią miejskiego folkloru.
Zawsze cierpliwy, grzecznie odpowiadałem: "Pięć sióstr i trzech braci".
Te kilka słów niezawodnie wywoływało u rozmówcy widoczną reakcję: brwi się marszczyły, oczy wywracały, usta rozszerzały w uśmiechu. "Dziewięcioro dzieci!", krzyczeli, tak jakby dotychczas nie zdawali sobie sprawy, że rodzina może w ogóle osiągać takie rozmiary.
To samo powtarzało się w szkole. "J'ai une grande familie" to jedno z pierwszych zdań, jakich nauczyłem się na zajęciach pana Oiseau. U moich kolegów, z których wielu było jedynakami, widok nas razem wzbudzał komentarze wyrażające od lekkiej pogardy do trwożliwego podziwu. Nasza specyficzna sława w tamtych czasach przyćmiła wszystkie inne osobliwości miasta - jednoręki właściciel spożywczaka, niemożliwie otyła hinduska dziewczyna i śpiewający pies sąsiada musieli na chwilę oddać nam palmę pierwszeństwa w rankingu lokalnych plotek. Różnice między moimi braćmi, siostrami i mną zacierały się, istnieliśmy tylko jako grupa. Nasza ilość przerodziła się w jakość: nie mogliśmy przed nią uciec, wszędzie nas wyprzedzała - nawet we francuskim, gdzie przymiotniki niemal zawsze stoją za rzeczownikami (ale nie, kiedy przychodzi do une grande familie).
Być może, kiedy się weźmie pod uwagę, jak wiele dzieci miałem do pilnowania, przestaje dziwić, że rozwinąłem w sobie smykałkę do liczb. Rodzina nauczyła mnie, że liczby są treścią życia. Większość mojej matematyki nie wzięła się z książek, ale z regularnych obserwacji relacji i codziennego współżycia. Zdałem sobie sprawę, że świat jest zbudowany z wzorców liczbowych. Na przykład: my, dziewięcioro dzieci, reprezentowaliśmy system dziesiętny: od zera (kiedy nikogo z nas nie było) aż do dziewięciu. Nawet to, jak się zachowywaliśmy, przypominało trochę działania arytmetyczne: czasem jakieś wypowiedziane w złości słowa sprawiały, że byliśmy podzieleni, a nieustannie zmieniające się sojusze między moimi braćmi i siostrami skutkowały pojawianiem się coraz to nowych równań.
W języku matematyki my - moi bracia, siostry i ja - stanowimy dziewięcioelementowy "zbiór". Matematyk napisałby:
S = {Daniel, Lee, Claire, Steven, Paul, Maria, Natasha, Anna, Shelley}
Innymi słowy, należymy do kategorii rzeczy, które mają na myśli ludzie, używając liczby 9. Inne zbiory tego rodzaju to planety naszego Układu Słonecznego (przynajmniej do niedawnej degradacji Plutona do rangi nie-planety), pola gry w kółko i krzyżyk, gracze drużyny baseballa, muzy w mitologii greckiej i sędziowie w Sądzie Najwyższym Stanów Zjednoczonych. Jeśli się chwilę zastanowić, można wymyślić też inne, dajmy na to:
{styczeń, marzec, kwiecień, maj, czerwiec, sierpień, wrzesień, październik, grudzień}
gdzie S = miesiące, których nazwa nie zaczyna się na literę L;
{5, 6, 7, 8, 9, 10, walet, dama, król}
gdzie S = możliwe wysokie karty w pokerze, który nie jest pokerem królewskim;
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
gdzie S = liczby kwadratowe między 1 a 99;
{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
gdzie S = nieparzyste liczby pierwsze poniżej 30.
Dziewięć powyższych przykładów zbiorów zawierających dziewięć elementów to kolejny przykład dziewięcioelementowego zbioru.
Tak jak kolory, najpowszechniej występujące liczby nadają światu charakter, formę i głębię. Najpopularniejsze - zero i jeden - przypominają czarny i biały, podczas gdy dwa, trzy i cztery odpowiadają kolorom podstawowym: czerwieni, zieleni i niebieskiemu. Dziewięć mogłoby być czymś w rodzaju kobaltu czy indygo: malarz używałby go raczej do cieniowania, niż do nadania kształtu. Dziewięć i indygo mają zabarwiać świat subtelnie i tylko gdzieniegdzie - stąd rodzina z dziewięciorgiem dzieci jest równie zaskakująca jak kobieta z kobaltowymi włosami.
Jest jeszcze jeden powód, dla którego mogliśmy zadziwiać mieszkańców naszego miasteczka. Mówiłem już o stale zmieniających się powiązaniach między moim rodzeństwem. Na jak wiele sposobów zbiór dziewięciu elementów może się podzielić i wymieszać? Inaczej rzecz biorąc: jak duży jest zbiór wszystkich jego podzbiorów?
{Daniel} ... {Daniel, Lee} ... {Lee, Claire, Steven} ... {Paul} ... {Lee, Steven, Maria, Shelley} ... {Claire, Natasha} ... {Anna} ...
Na szczęście tego rodzaju obliczenia są chlebem powszednim matematyki. Okazuje się, że wystarczy jedynie pomnożyć dwa przez siebie tyle razy, ile elementów liczy zbiór: dla takiego zawierającego dziewięć odpowiedź wynosi więc:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512.
Oznacza to, że w danym miejscu i czasie w moim rodzinnym mieście można było natknąć się na członków mojej rodziny na jeden z 512 sposobów. 512! Nic dziwnego, że wzbudzaliśmy sensację - naprawdę musiało się wydawać, że jest nas mrowie.
O tych obliczeniach można pomyśleć inaczej. Weźmy jakieś losowo wybrane miejsce w mieście - powiedzmy, szkolną klasę czy miejską pływalnię - pierwsze "2" powyżej będzie oznaczało prawdopodobieństwo, że w danym momencie się w nim znajduję (jedno z dwóch - jestem tam albo nie). Tak samo robimy z resztą mojego rodzeństwa - to dlatego dwa jest mnożone przez siebie dziewięć razy.
Dokładnie w jednym z możliwych przypadków nikogo z nas nie ma (tylko raz również jesteśmy wszyscy). Matematycy mówią wtedy o "zbiorze pustym". Niezależnie od tego, jak dziwne może się to wydawać, możemy nawet definiować takie zbiory: podczas gdy zbiory dziewięcioelementowe obejmują wszystko, o czym możemy pomyśleć, czego możemy dotknąć lub na co możemy wskazać, kiedy używamy liczby dziewięć, zbiory puste to te, które reprezentują zero. O ile więc na świątecznym spotkaniu w rodzinnym mieście jest nas tylu, ilu sędziów w Sądzie Najwyższym, o tyle na wycieczkę na Księżyc zapiszemy się równie licznie, jak liczna jest grupa różowych słoni, okręgów o czterech ścianach czy ludzi, którzy przebyli wpław Ocean Atlantycki.
Zarówno kiedy liczymy, jak i kiedy myślimy czy odbieramy świat, nasze umysły korzystają ze zbiorów, przy czym niemal nie ma ograniczeń co do tego, jak je postrzegamy i co o nich sądzimy. Argentyński pisarz Jorge Luis Borges, zafascynowany różnymi sposobami, na jakie kultury kategoryzują i dzielą nieskończenie złożony świat, z nieco złośliwą ironią zilustrował to, tworząc fikcyjną chińską encyklopedię zatytułowaną Niebiański bazar łaskawych wiadomości.
Zwierzęta dzielą się na: a) należące do Cesarza, b) zabalsamowane, c) tresowane, d) prosięta, e) syreny, f) fantastyczne, g) bezpańskie psy, h) włączone do niniejszej klasyfikacji, i) miotające się jak szalone, j) niezliczone, k) narysowane cienkim pędzelkiem z wielbłądziego włosia, l) et cetera, m) które właśnie rozbiły wazon, n) które z daleka podobne są do much[1].
Jak zawsze nie uciekając od humoru, Borges dodatkowo zmusza nas tutaj do myślenia. Po pierwsze, choć zbiór tak zadomowiony w naszym umyśle jak "zwierzęta" pociąga za sobą poczucie pewnego bezpiecznego ograniczenia i zrozumienia, tak naprawdę liczba jego możliwych podzbiorów sięga nieskończoności. Standardowa systematyka posługująca się garstką ogólnych etykiet ("ssak", "gad", "płaz" etc.) zataja ten fakt - dajmy na to, stwierdzenie, że pchła jest małą pasożytniczą mistrzynią w skokach, to przecież w rzeczywistości ledwie pierwszy krok na drodze do zgłębienia wszystkich jej cech.
Po drugie, definiowanie zbioru bardziej przypomina sztukę niż naukę ścisłą. Postawieni przed nieprzeliczoną rzeszą potencjalnych kategorii, skłaniamy się ku zaledwie kilku - tym najbardziej wypróbowanym i sprawdzonym w obrębie naszej konkretnej kultury. Świat zachodni preferuje opisywanie zbioru wszystkich słoni jako podzbioru "tych, które są bardzo duże", "tych, które posiadają ciosy" czy nawet "tych, które odznaczają się znakomitą pamięcią", ale raczej nie uzna za równie stosowne mówienia o nich za Borgesem jako o "tych, które z daleka podobne są do much" czy, jak Hindusi, jako o "tych, które przynoszą szczęście".
Pamięć jest kolejnym przykładem uprzywilejowywania pewnych podzbiorów (doświadczeń) w myśleniu i mówieniu o klasach rzeczy. Zapytani o urodziny, natychmiast przypomnimy sobie nierówny kawał czekoladowego tortu, który pożarliśmy, entuzjastyczne uściski bliskich czy parę jarzeniowo zielonych skarpet, które dostaliśmy w prezencie od matki. Jednocześnie większość z setek, z tysięcy detali, które złożyły się na nasz niezwykły dzień - od tych prozaicznych (strząśnięcie z kolan okruchów z porannego tosta) po niecodzienne (nagłe kilkuminutowe gradobicie w środku lipcowego popołudnia) - umyka nam zupełnie.
Wróćmy do Borgesa. Niektóre z zaproponowanych przez niego kategorii wydają się paradoksalne. Podzbiór j), dajmy na to: "niezliczone". Jak jakikolwiek podzbiór - nawet jeśli jest wymyślony, jak Borgesowskie zwierzęta - mógłby być nieskończony? Jak część czegoś może nie być mniejsza niż całość? W taksonomii Borgesa widać wyraźną inspirację pracami Georga Cantora, dziewiętnastowiecznego niemieckiego matematyka, którego przełomowe odkrycia w badaniach nad nieskończonością pomagają nam rozumieć te sprzeczności.
Cantor wykazał, między innymi, że części (podzbiory) tak duże jak całość (zbiór) rzeczywiście istnieją. Liczenie, jak zauważył, polega na przyporządkowywaniu elementów jednego zbioru elementom innego. "Dwa zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, kiedy każdemu elementowi ze zbioru A odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru B i odwrotnie" - łącząc więc każdego z graczy drużyny baseballowej czy każdy miesiąc niezaczynający się na L z kimś z moich braci, sióstr lub ze mną, będę w stanie dowieść, że wszystkie te trzy zbiory są równowartościowe: zawierają dokładnie dziewięć elementów.
Następnie Cantor dokonał wielkiego umysłowego przeskoku: w ten sam sposób porównał zbiór wszystkich liczb naturalnych (1, 2, 3, 4, 5, ...) z jego podzbiorami: liczbami parzystymi (2, 4, 6, 8, 10, ...), nieparzystymi (1, 3, 5, 7, 9, ...) i pierwszymi (2, 3, 5, 7, 11, ...). Przyporządkowując każdej liczbie naturalnej jedną liczbę parzystą, nieparzystą i pierwszą, ku swojemu zdziwieniu doszedł do wniosku, że odpowiadają sobie tak, jak nasze rodzeństwo i gracze baseballowi - liczb parzystych (i nieparzystych, i pierwszych) było dokładnie "tyle", ile wszystkich liczb razem wziętych.
Lektura Borgesa skłoniła mnie do zastanowienia się nad bogactwem możliwych podzbiorów mojego rodzinnego "zbioru", wykraczającym daleko poza samą liczbę jego elementów. Teraz, kiedy dorośliśmy, część z nas doczekała się własnych potomków. Niektórzy przenieśli się daleko, do jednego z tych cieplejszych lub bardziej interesujących miejsc, z których zwykle wysyła się pocztówki. Rzadko - czego bardzo żałuję - mamy sposobność spotkać się wszyscy razem. Kocham moją rodzinę, choć oczywiście nie jestem obiektywny. I mam dużo rodziny do kochania. Rozmiar jednak dawno przestał być dla nas cechą charakterystyczną: bardziej definiuje nas to, że jesteśmy skrupulatni, wolimy kawę niż herbatę, nigdy w życiu nie zasadziliśmy żadnego kwiatka, śmiejemy się przez sen...
Tak jak dzieła literackie, pojęcia matematyczne, wyzwalając nas spod tyranii jedynie słusznego, ograniczonego punktu widzenia, pozwalają nam spojrzeć na świat z szerszej perspektywy. Liczby, jeśli je dobrze rozumieć, czynią nas lepszymi ludźmi.
Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki
