WSTĘPKrólewska droga ludzkiej myśli
Jednym z najbardziej osobistych doświadczeń człowieka jest doświadczenie zanurzenia w strumień czasu. Jest ono tak głęboko zrośnięte z naszym istnieniem, że zwracamy na nie uwagę tylko wtedy, gdy nasze istnienie jest zagrożone (mówimy wówczas o doświadczeniu przemijania), lub gdy istnienie przeżywamy tak intensywnie, że nie chcielibyśmy z niego utracić ani odrobiny (wówczas mówimy o pragnieniu zatrzymania chwili). Bywa także czasami, że zwracamy uwagę na doświadczenie przemijania niejako dla eksperymentu. Wtedy na przykład, gdy zastanawiamy się nad tym, co to jest czas, dlaczego nie można go cofnąć i skąd wiem, że ja sprzed minuty i ja teraźniejszy to ta sama osoba. Co to znaczy "teraźniejszy"? Przeszłość to ogromny obszar, który już był, przyszłość to nieskończone pole możliwości, a chwila teraźniejsza jest punktem, nicością, odgradzającą przeszłość od przyszłości, ale równocześnie jest ona czymś najbardziej rzeczywistym - rzeczywistym, bo jedynym, co naprawdę istnieje. Przeszłości już nie ma, przyszłości jeszcze nie ma, jedynie teraźniejszość JEST.
Nic więc dziwnego, że motyw czasu stał się jednym z głównych wątków filozofii. Powraca on w najrozmaitszych rozważaniach filozoficznych w wielu wersjach i odmianach: od humanizujących i moralizujących refleksji aż do najbardziej "twardych" analiz logicznych. Doświadczenie czasu przenosimy na świat zewnętrzny i w jakiś spontaniczny sposób jesteśmy skłonni sądzić, że "rzeczy materialne" także uczestniczą w nieustannym procesie płynięcia czasu. Dopiero całkiem niedawno niektórzy myśliciele zaczęli wątpić w to, czy "uczasowienie" jest atrybutem nierozerwalnie związanym z "materialnym istnieniem". W każdym razie jest faktem historycznym, że nowożytne nauki empiryczne były uwikłane w problem czasu od momentu swojego powstania. Pierwszym działem nowożytnej fizyki stała się mechanika, czyli nauka o ruchu, a ruch też jest - podobnie jak czas - "wielkością płynącą" i albo służy do mierzenia czasu, albo sam jest odmierzany czasem. To niemal tautologiczne powiązanie czasu i ruchu stanowi jeden z najtrudniejszych paradoksów przemijania. W fizyce doświadczalnej czas mierzymy za pomocą różnego rodzaju ruchów: od ruchów ciał niebieskich i mechanicznego wahadła aż do subtelnych drgań atomów kwarcu. W fizyce teoretycznej w ten sposób wybieramy "parametr t", aby prawa fizyki wyglądały najprościej (i najeleganciej), gdy się tego parametru użyje jako zmiennej niezależnej w równaniach różniczkowych wyrażających te prawa (a więc, w pewnym sensie, to prawa fizyki wyznaczają płynięcie czasu).
Fizycy-teoretycy na ogół bardziej wierzą swoim matematycznym modelom niż codziennej intuicji i dlatego problematykę czasu coraz bardziej zdecydowanie uważają za swoją domenę badawczą. A więc przede wszystkim: czy czas obejmuje jednakowo całą rzeczywistość i wszędzie płynie tak samo? Pozytywna odpowiedź na to pytanie stanowiła milczące założenie mechaniki Newtona. Najważniejszym argumentem na rzecz tego założenia (o ile założenia, zwłaszcza milczące, potrzebują argumentów) było to, że nie widać żadnych argumentów, żeby miało być inaczej. Ale teoria względności przytoczyła takie argumenty (a doświadczenie je potwierdziło) i po stosunkowo krótkim okresie dyskusji fizycy zrozumieli, że miara czasu zależy od układu odniesienia: w różnych układach odniesienia czas "płynie" różnie.
Kolejne, jeszcze bardziej rewolucyjne pytanie: czy czas w ogóle istnieje? Już termodynamika klasyczna zdawała się uzależniać płynięcie czasu od wzrostu entropii. A więc "uczasowienie" nie byłoby jakąś fundamentalną, ontologiczną własnością świata, lecz stanowiłoby konsekwencję jednego z wielu praw przyrody. Dalszy krok w kierunku "odczasowienia" świata uczyniła geometryczna interpretacja teorii względności. Czas jest jednym z czterech wymiarów geometrycznego tworu zwanego czasoprzestrzenią. Prawda, że jest to wymiar szczególny, nawet z czysto matematycznego punktu widzenia różni się on od pozostałych wymiarów przestrzennych, ale nie ulega wątpliwości, że czasoprzestrzeń można interpretować statycznie: nic w niej nie płynie, ona po prostu jest, a ruchy to tylko krzywe w czasoprzestrzeni - mechanika sprowadza się do geometrii krzywych.
Stawiając pytanie "czy czas w ogóle istnieje?", fizycy mają na myśli poziom podstawowy - powiedzmy, ten poziom, na którym istotne są kwantowe efekty grawitacji. W to, że czas istnieje na poziomie makroskopowym (czy jako coś płynącego, czy jako wymiar czasoprzestrzeni), trudno wątpić, ale rzecz w tym, że może być tak, iż czas makroskopowy jest tylko wielkością pochodną, czymś wtórnym, podobnie jak ciepło będące tylko wynikiem ruchu wielu cząstek. Analogia z ciepłem może być bardziej trafna, niż się to wydaje na pierwszy rzut oka. Jeżeli prawo wzrostu entropii (prawo termodynamiki, a więc nauki o cieple) istotnie warunkuje kierunkowe upływanie czasu, a jest ono w swojej istocie statystyczne (a więc obowiązuje jedynie odpowiednio duże masy statystyczne), to na poziomie indywidualnych cząstek nie ma płynięcia czasu. Pojedyncza cząstka nie może doświadczać przemijania, podobnie jak nie może być ciepła lub zimna. Takie spekulacje pojawiały się na marginesach termodynamiki już ponad wiek temu. Współczesna fizyka idzie znacznie dalej. Wprawdzie ciągle jeszcze nie mamy ostatecznej teorii fizycznej (która byłaby równocześnie kwantową teorią grawitacji), ale rozmaite przymiarki do niej i robocze modele sugerują, że poziom fundamentalny istotnie jest bezczasowy, a czas wyłania się dopiero na wyższych poziomach jako pewnego rodzaju uśrednienie bardziej podstawowych kwantowych korelacji.
To tylko bardzo ogólnikowa próbka tego, co współczesna fizyka miałaby do powiedzenia na temat czasu. Trudno byłoby dziś wyobrazić sobie filozofa, który mógłby odpowiedzialnie filozofować na temat czasu bez odwoływania się do współczesnej fizyki. A może jest tak, że filozof w ogóle już nie ma nic do zrobienia na tej działce? Takie podejrzenie nasunęło się wielu myślicielom po powstaniu szczególnej teorii względności. Rozpętała ona istną burzę dyskusji na temat czasu. Szczególna teoria względności była na tyle łatwa, że wielu ludzi bez zaawansowanego przygotowania matematycznego mogło ją zrozumieć, ale na tyle trudna, że wielu z nich zrozumiało ją źle. Standardowym argumentem filozofów, broniących autonomii swojej dyscypliny przeciw zaborczości fizyki, było twierdzenie, że fizyka nie jest w stanie przy pomocy swoich metod uchwycić przemijającej chwili, a co za tym idzie, jakiejkolwiek, prawdziwej zmiany (w szczególności ruchu). Chcąc badać zmianę, trzeba uchwycić przemijającą chwilę, zatrzymać czas, zamrozić go niejako, a tym samym zniszczyć zmianę, którą chce się poddać analizie. Spostrzegł to już Zenon z Elei, formułując swoje słynne antynomie ruchu: strzała nie doleci do celu, szybkonogi Achilles nie przegoni żółwia - w każdym razie jeżeli na serio traktuje się matematyczny opis ruchu: suma spoczynków nie może dać nic innego, jak tylko spoczynek.
Najbardziej znanym zwolennikiem takich poglądów był Henri Bergson. I nie przypadkiem. Kluczowe twierdzenie filozofii Bergsona głosiło, że rzeczywistość jest pełnym dynamiki stawaniem się, łańcuchem nieustannej zmiany, napędzanej przez élan vital (życiową energię). Nauki empiryczne, z fizyką na czele, fałszują rzeczywistość, ponieważ nie mogąc uchwycić przemijania, uprzestrzenniają (spacjalizują) czas, zamrażają ruch i w konsekwencji nie są w stanie dostrzec życiowej energii, najistotniejszego czynnika rzeczywistości.
W filozoficznych dyskusjach niekiedy bywa tak, że jakiś powierzchowny argument, odpowiednio często powtarzany w rozmaitych stopniach rozrzedzenia, urasta do rangi rozstrzygającej racji. Częstość, z jaką ciągle jeszcze słyszy się różne wersje rozumowania Bergsona, świadczy, że mamy tu do czynienia z takim właśnie zjawiskiem. Celem niniejszej książki jest dogłębne i wyczerpujące rozpatrzenie jednego tylko zarzutu pod adresem fizyki, zarzutu będącego częścią rozumowania Bergsona i wielu innych filozofów powtarzających za Bergsonem lub myślących podobnie jak on. Idzie mianowicie o zarzut, wedle którego fizyka za pomocą swoich metod nie jest w stanie uchwycić przemijającej chwili i w konsekwencji nie jest w stanie analizować ruchu (i w ogóle zmiany) bez sztucznego zamrażania go. Podkreślam z naciskiem - pragnę rozpatrzeć tylko ten zarzut. Pomijam całą resztę filozofii Bergsona. W szczególności nie chcę twierdzić, że fizyka przejęła całą problematykę czasu, nie pozostawiając w tej materii niczego zawodowym filozofom. Na warsztat swoich rozważań biorę tylko tę jedną kwestię: czy fizyka swoimi metodami jest w stanie dokonać analizy przepływającej chwili, ruchu i zmiany? Pragnę, jak wspomniałem, tę kwestię zbadać dogłębnie i wyczerpująco. Chcę sięgnąć do źródeł problemu, rozpatrzeć pierwsze próby zmagania się z nim, prześledzić, jak stopniowo krystalizowały się metody, które ostatecznie doprowadziły do rozstrzygnięcia. Chcę także przyjrzeć się samemu rozstrzygnięciu: jego wstępnej fazie, nowym trudnościom, w które się uwikłało, i ostatecznemu ich wyjaśnieniu. I wreszcie perspektywom, jakie się otworzyły, dzięki temu procesowi.
A więc moje analizy będą typu historycznego. Z jednym ważnym zastrzeżeniem: nie piszę dzieła z historii nauki. Historię traktuję wyłącznie jako laboratorium, w którym najlepiej można podpatrzeć funkcjonowanie nauki i jej metod. Nie interesuje mnie docieranie do oryginalnych źródeł, ustalanie wzajemnych zależności pomiędzy autorami, badanie ich uwarunkowań kulturowych i społecznych etc. Oczywiście staram się korzystać z jak najlepszych opracowań, ale historię nauki traktuję jako narzędzie; chcę dzięki niej dotrzeć do sedna funkcjonowania naukowej metody. Ponieważ jednak historia nauki jest bardzo ciekawa, pozwalam sobie niekiedy na nie całkiem konieczną wycieczkę w głąb jakiejś historycznej odnogi. Mam nadzieję, że Czytelnik nie weźmie mi za złe tego rodzaju urozmaiceń zasadniczego wątku.
Jest rzeczą zrozumiałą, że moim drugim narzędziem, obok historii, jest filozofia nauki. Tylko połączenie tych dwu strategii: historycznej i metodologicznej, jest w stanie doprowadzić do zamierzonego celu. Gdyby ktoś koniecznie chciał wiedzieć, czy w przeprowadzanych analizach byłem bardziej filozofem nauki, który do swoich celów wykorzystywał historię nauki, czy bardziej historykiem nauki, który obficie korzystał z osiągnięć filozofii nauki, by w gąszczu faktów i zdarzeń wprowadzić trochę metodologicznego porządku, musiałbym przyznać, że raczej byłem filozofem nauki traktującym historię jako narzędzie niż odwrotnie.
Ale oprócz tych dwu wzajemnie wspomagających się partnerów (historii i filozofii nauki) jest jeszcze partner trzeci - nauka dzisiejsza. Mam na myśli przede wszystkim matematykę i fizykę naszych czasów, gdyż właśnie te dwie współczesne naukowe dyscypliny dostarczają mi punktu widzenia, z którego perspektywy można ogarnąć dzieje całego problemu i znaleźć jego rozwiązanie. Niekiedy historycy nauki usiłują wyzwolić się z "perspektywy naszych czasów", by jak najbardziej autentycznie zrekonstruować przeszłość. Przedsięwzięcie takie nie może się udać. Nie potrafimy wyzwolić się ze współczesnych nam kategorii myślenia. Historii dzielącej nas od jakiejś epoki nie da się po prostu unicestwić. Nasze obecne kategorie myślenia są zbudowane z warstw naniesionych przez historię. Stąd też - zgodnie z tendencją panującą dziś wśród historyków - niemożność wyzwolenia się z przeszłości jest raczej szansą, z której należy korzystać, niż przeszkodą, której i tak nie da się pokonać. Każde pokolenie musi historię pisać od nowa nie tylko dlatego, że lepsze zrozumienie swojej historii pozwala lepiej zrozumieć własną współczesność, ale również dlatego, że wyposażeni w osiągnięcia (i porażki) współczesności lepiej potrafimy zrozumieć przeszłość. W tym sensie w historii możliwy jest postęp. Ten ostatni argument pozostaje tym bardziej słuszny w odniesieniu do historii matematyki i historii fizyki. W obydwu tych dyscyplinach mamy do czynienia ze znacznie lepszymi kryteriami postępu niż w jakichkolwiek innych dziedzinach i osądzanie historii z punktu widzenia dzisiejszych osiągnięć daje tym lepsze wyniki. A jeżeli historię nauki traktuje się jako narzędzie do rozwiązywania filozoficznych zagadnień związanych z nauką - jak to ma miejsce w tej książce - to uznanie współczesnego stanu nauki za miejsce uprzywilejowanej perspektywy staje się po prostu częścią obranej strategii badawczej.
Centralny problem niniejszej książki "czy da się matematycznie modelować proces ruchu i zmiany tak, by uchwycić moment płynięcia?" jest częścią obszerniejszego zagadnienia, które niekiedy nazywa się problemem matematyczności świata lub matematyczności przyrody. Matematyczne modelowanie przyrody jest faktem, którego - wobec sukcesów zmatematyzowanych nauk empirycznych - nie sposób kwestionować. Idzie tu raczej o to, po pierwsze, dlaczego świat daje się "matematyzować" i, po drugie, jakie są granice matematyzowalności świata. Pierwsze z tych pytań nie jest głównym przedmiotem tej książki. Można je uznać za jedno z najważniejszych pytań (lub wręcz za najważniejsze pytanie) filozofii przyrody, ale do dziś nie istnieje na nie zadowalająca odpowiedź. Pytanie to pojawia się niejako w tle moich analiz. Historia interesującego mnie zagadnienia dostarczy bardzo przekonywających dowodów tego, że jest to niezwykle głębokie pytanie, które, choć pozostaje bez odpowiedzi, skierowuje myśl do poznawczo doniosłych treści. Natomiast drugie z zasygnalizowanych pytań (pytanie o granice matematyzowalności) dotyka samego sedna głównego tematu niniejszej książki. Bo to właśnie niemożność zmatematyzowania "płynięcia czasu i ruchu" była najczęściej przytaczanym "dowodem" na istnienie granic matematyzowalności świata. W niniejszej książce pokażę - mam nadzieję, przekonywająco - iż jeśli granice matematyzowalności świata istnieją, to nie wyznacza ich niemożność zmatematyzowania "płynięcia czasu i ruchu". Co więcej, matematyczny zabieg modelowania ruchu i zmiany "chwyta" proces "przepływania" z taką ostrością i precyzją, do jakiej nie jest zdolna intuicja poznawcza oparta na naszej świadomości.
Problem zracjonalizowania, a potem zmatematyzowania, ruchu i zmiany sięga głębokiej starożytności. Jeżeli spór Heraklita z Parmenidesem uznać za pierwszy spór filozoficzny, to właśnie od tego problemu rozpoczęły się dzieje europejskiej filozofii. Ale we współczesnych dyskusjach początki interesującego nas zagadnienia, a w każdym razie jego wyraźnego sformułowania w języku matematycznym (choć ubranym w postać dydaktycznych paraboli), najczęściej wiąże się z paradoksami Zenona z Elei. Wydawać by się mogło, że od czasu wynalezienia pochodnej i całki dyskusje na temat paradoksów Zenona powinny się zakończyć. Tak jednak nie jest. I faktu tego nie można przypisywać jedynie niechęci wielu filozofów do uczenia się matematyki. Czy matematyka w ogóle może rozwiązać problem czasu i ruchu? Przecież zarówno czas, jak i ruch należą do fizycznego świata, a matematyka jako nauka formalna nie jest w stanie niczego powiedzieć o świecie. Argumentacja całkowicie poprawna, ale zatrzymująca się w pół drogi. Rozwiązanie, jakie proponuję w tej książce, jest trywialne: Rachunek różniczkowy i całkowy dostarcza tylko formalnych narzędzi do analizy problemu "płynięcia". Narzędzia te są wykorzystywane w procesie matematycznego modelowania zjawisk fizycznych, wypracowanym przez nowożytną fizykę. Rozwiązanie to dziś wydaje się trywialne, ale zarówno matematyczne narzędzia formalne, jak i sam proces fizycznego modelowania są dalekie od trywialności, a proces stopniowego dochodzenia do tej metody jest jednym z najbardziej niezwykłych włókien historii ludzkiej myśli.
Włókno to, w zastosowaniu do zagadnienia "płynięcia", ma wyraźnie dwa odgałęzienia: jedno to ciąg dokonań, które w efekcie doprowadziły do rachunku różniczkowego i całkowego; drugie to ciąg badań z dziedziny fizyki ruchu, czyli mechaniki. Odnogi te ostatecznie spotkały się w dziele Newtona i stworzyły pierwszą teorię nowożytnej fizyki, a wraz z nią powołały do życia metodę matematycznego modelowania przyrody. Ale na Newtonie proces ten się nie skończył. Nowa metoda zawierała w sobie wiele trudnych do przewidzenia możliwości. Uległo jej nie tylko - beznadziejne, zdawałoby się - zadanie zmatematyzowania ruchu i zmiany; przeobraziła ona, i ciągle przeobraża, całe nasze widzenie i rozumienie świata.
I jeszcze jedno zagadnienie, które celowo zostało pominięte w tej książce, a które powinno zostać tutaj przynajmniej zasygnalizowane. Ruch strzały, zdążającej do celu, składa się z nieskończenie małych punktochwil, które, sumując się, powodują, że strzała pokonuje kolejne odcinki drogi i osiąga cel. Tak przynajmniej sugeruje nam intuicja i wygląda na to, że wielu myślicieli nie uzna paradoksów Zenona za rozwiązane, dopóki ta intuicja nie zostanie zaspokojona. Otóż stało się to w zasadzie możliwe po stworzeniu przez Abrahama Robinsona tzw. analizy niestandardowej, rozwijanej potem przez wielu jego następców. W analizie niestandardowej liczby nieskończenie małe (zresztą również i liczby nieskończenie wielkie), zwane także liczbami niestandardowymi, zostały zdefiniowane w sposób ścisły i wolny od paradoksów. Niektórzy myśliciele utrzymują, że dopiero analiza niestandardowa rozwiązuje paradoksy Zenona[1]. Co o tym sądzić? Przede wszystkim, ani analiza standardowa, ani analiza niestandardowa, jako działy matematyki, a więc nauki czysto formalnej, nie są w stanie rozwiązać żadnych paradoksów odnoszących się do czegokolwiek poza matematycznym formalizmem. Jak już powiedziałem wyżej, chcąc rozwiązać paradoksy ruchu i zmiany, musimy odwołać się do matematycznego zabiegu modelowania stosowanego w fizyce. W książce tej dowodzę, że matematyczne modele ruchu i zmiany oparte na analizie standardowej całkowicie likwidują paradoksy Zenona. Potwierdzeniem tego jest codzienna praktyka fizyków i inżynierów-mechaników, którzy w sposób wolny od jakichkolwiek logicznych anomalii "manipulują" ruchem i zmianą przy pomocy modeli fizycznych, wykorzystujących tradycyjny (standardowy) rachunek różniczkowy i całkowy.
Inna sprawa, że jest rzeczą możliwą (a nawet dość częstą), by dane zjawisko fizyczne miało więcej niż jeden model matematyczny. Wszystko wskazuje na to, że właśnie ma to miejsce w interesującej nas sytuacji, a mianowicie, że zjawisko ruchu można modelować za pomocą standardowego rachunku różniczkowego i całkowego i, inaczej, za pomocą niestandardowego rachunku różniczkowego i całkowego. Z tym, że ten drugi sposób dotychczas nie znalazł poważniejszego zastosowania w fizyce. Być może, że ten drugi, niestandardowy sposób bardziej zaspokoi (czy uspokoi) intuicje niektórych filozofów. Ale w niczym nie zmienia to faktu, że model standardowy jest logicznie bez zarzutu, że całkowicie likwiduje paradoksy Zenona z Elei.
Książka, którą oddaję do rąk Czytelników, jest poświęcona wyłącznie standardowej drodze współczesnej fizyki. Czytając tę książkę, warto nie zapominać o tym, że standardowa droga fizyki jest równocześnie królewską drogą ludzkiej myśli.
lipiec 1995
Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki
