Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce - Ian Stewart

Przedmowa

Trzynasty marca 1832 r. W porannej mgle dwóch młodych Francuzów, stojąc naprzeciw siebie z wyciągniętymi pistoletami, ma zamiar pojedynkować się o młodą kobietę. Pada strzał, jeden z nich śmiertelnie raniony pada na ziemię. Dwa tygodnie później w wieku 21 lat umiera na skutek zapalenia otrzewnej i zostaje pochowany w nieoznakowanym grobie. Wraz z nim umiera jedna z najważniejszych idei w matematyce.

Ten, który przeżył, do dziś pozostaje nieznany. Ten zabity nazywał się Évariste Galois i był politykiem-rewolucjonistą oraz zapalonym matematykiem. Jego prace zebrane zajmują zaledwie sześćdziesiąt stron, ale zrewolucjonizowały matematykę. Galois stworzył język pozwalający opisać symetrię struktur matematycznych oraz ich konsekwencje.

Ten język, znany jako teoria grup, wykorzystuje dziś matematyka czysta i stosowana do opisu powstawania wzorców struktury w naturze. Symetria odgrywa także kluczową rolę w kwantowym świecie rzeczy bardzo małych i relatywistycznym świecie rzeczy bardzo dużych. Może się przyczynić do powstania długo poszukiwanej "teorii wszystkiego", matematycznej unifikacji tych dwóch gałęzi współczesnej fizyki. Wszystko to zapoczątkowało proste pytanie dotyczące rozwiązań równań matematycznych - poszukiwania w algebrze "nieznanej" liczby na podstawie kilku matematycznych wskazówek.

Symetria nie jest liczbą albo kształtem, lecz specjalnym rodzajem transformacji - sposobem poruszania obiektu. Jeśli po dokonaniu transformacji obiekt wygląda identycznie, to taka transformacja jest symetrią. Na przykład kwadrat wygląda tak samo, jeśli jest obrócony o kąt prosty.

Ta idea, znacznie rozszerzona i rozbudowana, jest dzisiaj podstawowym narzędziem służącym do badania Wszechświata i jego początków. Podstawą teorii względności Alberta Einsteina była zasada mówiąca, że prawa fizyki muszą być takie same we wszystkich miejscach i wszystkich momentach czasu. Znaczy to, że prawa powinny być symetryczne ze względu na ruch w przestrzeni i upływ czasu. Fizyka kwantowa twierdzi, że wszystko we Wszechświecie jest zbudowane z bardzo małych cząstek elementarnych. Zachowanie tych cząstek jest opisywane matematycznymi równaniami - prawami natury - a prawa te mają symetrię. Za pomocą takich równań cząstki mogą być transformowane w zupełnie inne cząstki, przy czym transformacje nie powodują zmiany praw fizyki.

Takie koncepcje, a także inne obowiązujące we współczesnej fizyce, nie mogłyby zostać stworzone bez dogłębnej matematycznej analizy symetrii. Analiza ta, dokonana na gruncie matematyki abstrakcyjnej, miała wpływ na fizykę w okresie znacznie późniejszym. Niezwykle użyteczne idee mogą powstawać w wyniku czysto abstrakcyjnych rozważań, co Eugene Wigner określił jako "nieprawdopodobną skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych". Dzięki matematyce zysk znacznie przekracza koszty.

Książka ta, rozpoczynająca się historią starożytnych skrybów babilońskich i kończąca opowieścią o fizykach XXI w., przedstawia zmagania matematyków z koncepcją symetrii oraz pokazuje, jak bezcelowe z pozoru poszukiwanie nieistniejącego wzoru przyczyniło się do odkrycia nowego okna na Wszechświat i zrewolucjonizowało naukę. Jest to opowieść o symetrii, ilustrująca, jak wstrząsy polityczne i naukowe mogą wzmacniać oddziaływanie kultury i historyczną ciągłość wielkich idei.

*

Rzut oka na pierwszą część książki może prowadzić do wniosku, że nie ma ona nic wspólnego z symetrią i niewiele wspólnego ze światem przyrody. Powód jest prosty - nie geometrii, jak można by oczekiwać, symetria zawdzięcza, że stała się dominującą ideą. Koncepcja symetrii, piękna i niezbędna dla dzisiejszej matematyki i fizyki, pojawiła się dzięki algebrze. Dlatego duża część książki jest poświęcona opisowi poszukiwań rozwiązań równań algebraicznych. Czytelnik może odnieść wrażenie, że zagłębiamy się w technikę rachunkową, ale poszukiwania te są fascynujące, życie wielu głównych postaci było bowiem niezwykłe i pełne dramatyzmu. Matematycy są ludźmi, choć często pochłaniają ich abstrakcyjne rozważania. Niektórzy oddali logice władzę nad swym życiem, ale przekonamy się nieraz, że nasi bohaterowie mieli także bardzo ludzkie cechy. Dowiemy się, jak żyli i umierali, poznamy ich romanse i pojedynki, gwałtowne spory, skandale seksualne, pijaństwo, choroby i w końcu zobaczymy, jak ich matematyczne idee zmieniają świat i przyczyniają się do kolejnych odkryć!

Opowieść, rozpoczynająca się dziesięć wieków przed naszą erą, punkt kulminacyjny osiąga w czasach Galois, na początku XIX w. Poznajemy krok po kroku rozwój metod rozwiązywania równań, metod, które przestały być skuteczne, gdy matematycy spróbowali rozwiązać równanie piątego stopnia, czyli takie, w którym niewiadoma jest podniesiona do potęgi piątej. Czy ich sposoby zawiodły dlatego, że równanie stopnia piątego fundamentalnie różni się od innych równań? Może istnieją skuteczniejsze metody, które pozwalałyby wyprowadzić wzory stanowiące rozwiązanie równania? Czy matematycy natknęli się na poważną przeszkodę, czy tylko brak zdolności ogranicza ich możliwości przełamania impasu?

Rozwiązania równania piątego stopnia istnieją. Pytanie tylko, czy można je wyrazić za pomocą wzorów algebraicznych. W 1812 r. młody Norweg, Niels Henrik Abel, udowodnił, że równanie piątego stopnia nie może być rozwiązane metodami algebraicznymi. Jednak jego dowód był cokolwiek zagadkowy i niebezpośredni. Wskazywał na to, że nie istnieje ogólne rozwiązanie, ale nie wyjaśniał dlaczego.

Dopiero Galois odkrył, że nierozwiązywalność równania piątego stopnia wynika z jego symetrii. Jeśli symetrie te spełniają wymóg Galois - to znaczy pasują do siebie w pewien sposób, którego jeszcze teraz nie wyjaśnię - rozwiązanie równania może być wyrażone wzorem algebraicznym. Jeśli nie spełniają wymogu Galois, to nie istnieje rozwiązanie wyrażone takim wzorem.

Ogólnie rzecz biorąc, równanie piątego stopnia nie może być wyrażone wzorem algebraicznym, ponieważ cechuje je zły rodzaj symetrii.

*

Odkrycie to stanowi następny temat książki, którym jest grupa - jako matematyczny "rachunek symetrii". Galois odkrył na nowo starożytną metodę matematyczną, algebrę, jako narzędzie badania symetrii.

W tej chwili słowo "grupa" pozostaje niezrozumiałym pojęciem istniejącym w żargonie matematycznym. Wyjaśnię znaczenie tego określenia, gdy stanie się ono konieczne do zrozumienia książki. Czasami dla śledzenia treści niezbędny jest odpowiedni termin. Jeśli napotykamy wyraz mający cechy żargonu, który nie został natychmiast wyjaśniony, to spełnia on funkcję pożytecznej etykietki o niezbyt istotnym znaczeniu. Niekiedy znaczenie to pojawia się samoistnie w trakcie czytania. Pojęcie "grupy" jest przykładem takiego zjawiska, nie wyjaśnimy go aż do połowy książki.

Nasza opowieść porusza także problem osobliwego znaczenia pewnych liczb w matematyce. Nie mam tu na myśli podstawowych stałych fizyki, ale stałe matematyczne, jak ? (grecka litera pi). Prędkość światła na przykład może być w zasadzie jakakolwiek, ale tak się zdarzyło w naszym Wszechświecie, że wynosi 299 792,5 km na sekundę. Z kolei ? jest troszkę większe od 3,14159 i nic na świecie nie może tego faktu zmienić.

Nierozwiązywalność równania piątego stopnia sugeruje nam, tak jak ?, że liczba pięć jest również bardzo osobliwa. Związana z nią grupa symetrii nie spełnia wymogu Galois. Innym osobliwym przykładem jest ciąg liczb 1, 2, 4, 8. Matematycy odkryli wiele rozszerzeń koncepcji zwykłych liczb "rzeczywistych", najpierw na liczby zespolone, a potem na obiekty zwane kwaternionami i oktonionami. Są one utworzone odpowiednio z dwóch liczb rzeczywistych, czterech liczb rzeczywistych i ośmiu liczb rzeczywistych. A co dalej? Naturalnym przypuszczeniem byłoby szesnaście liczb rzeczywistych, ale w istocie nie ma dalszych sensownych rozszerzeń klas zbiorów liczbowych. Ten fakt jest niezwykły i ważny. Mówi nam, że liczba 8 ma niezwykłe cechy, nie w jakimś powierzchownym sensie, lecz ze względu na jej związek z samą strukturą matematyki.

Oprócz roli liczb 5 i 8, książka ta ukazuje funkcję kilku innych liczb, a w szczególności 14, 52, 78, 133 i 248. Te osobliwe liczby to wymiary pięciu "wyjątkowych grup Liego", które mają wpływ na całą matematykę i większość metod matematycznych stosowanych w fizyce. Są one głównymi postaciami matematycznego dramatu, podczas gdy inne liczby, na pozór niewiele różniące się od nich, są tylko zwykłymi pionkami w tej grze.

Dopiero pod koniec XIX w., wtedy, gdy powstała współczesna algebra, matematycy odkryli specjalną rolę tych liczb. Chodzi nie o nie same, ale o ich znaczenie dla podstaw algebry. Z każdą z nich skojarzony jest obiekt matematyczny zwany grupą Liego, mający wyjątkowe i niezwykłe własności. Grupy te odgrywają główną rolę we współczesnej fizyce i wygląda na to, że mają związek z fundamentalną strukturą przestrzeni, czasu i materii.

*

Zagadnienie to prowadzi nas do ostatniego tematu: fizyki zjawisk podstawowych. Fizycy przez długi czas zastanawiali się, dlaczego przestrzeń ma trzy wymiary, a czas tylko jeden - dlaczego żyjemy w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Teoria superstrun, najnowsza próba ujednolicenia całej fizyki do jednego spójnego zbioru praw, przyczyniła się do podjęcia przez fizyków rozważań dotyczących możliwości istnienia "ukrytych" wymiarów czasoprzestrzeni. Może to się wydawać śmiesznym pomysłem, ale ma dobre historyczne tradycje. Idea istnienia dodatkowych wymiarów wiąże się prawdopodobnie z tą własnością teorii superstrun, która budzi najmniej sprzeciwów.

Znacznie bardziej kontrowersyjne jest przekonanie, że u podstaw nowej teorii przestrzeni i czasu leżą matematyczne założenia teorii względności i teorii kwantów, dwóch filarów współczesnej fizyki. Unifikacja tych dwóch wzajemnie sprzecznych teorii uważana jest za ćwiczenie matematyczne, a nie proces wymagający nowych i rewolucyjnych eksperymentów. Oczekuje się, że matematyczne piękno będzie zasadniczym wymogiem fizycznej prawdy. To może być bardzo niebezpieczne założenie. Nie można tracić z pola widzenia świata fizycznego, jakakolwiek bowiem teoria powstająca w wyniku dzisiejszych rozważań nie uniknie jutro porównania z eksperymentem i obserwacjami, niezależnie od tego, jak mocne będą jej matematyczne podstawy.

Jednak obecnie istnieją wystarczające powody do przyjęcia matematycznego podejścia. Jednym z nich jest to, że nikt nie wie, jakie eksperymenty powinien przeprowadzić, dopóki nie sformułuje się naprawdę przekonującej teorii. Inny jest taki, że matematyczna symetria odgrywa podstawową rolę zarówno w teorii względności, jak i mechanice kwantowej, dwóch teoriach niemających wspólnych podstaw. Dlatego też powinniśmy tym bardziej cenić każdy bit informacji, który możemy dzięki niej uzyskać. Możliwe do wyobrażenia struktury przestrzeni, czasu i materii wyznaczane są za pomocą ich symetrii, a wielkie perspektywy w tym kontekście mają wyjątkowe struktury algebraiczne. Własności czasoprzestrzeni mogą wynikać z tego, że matematyka zezwala jedynie na bardzo krótką listę tych specjalnych form. Jeśli to prawda, warto zająć się matematyką.

Dlaczego Wszechświat jest tak bardzo matematyczny? Rozmaite są odpowiedzi na to pytanie, ale żadna z nich mnie nie przekonuje. Relacja symetryczna pomiędzy matematycznymi ideami a światem fizycznym, jak symetria pomiędzy naszym zmysłem piękna a najbardziej istotnymi matematycznymi strukturami, jest najgłębszą i być może nieodgadnioną tajemnicą. Nikt z nas nie może powiedzieć, dlaczego piękno jest prawdą, a prawda pięknem. Możemy jedynie zastanawiać się nad nieskończoną złożonością tego związku.

Rozdział 1

Babilońscy skrybowie

Przez region, w którym leży dzisiejszy Irak, płyną dwie najsłynniejsze rzeki świata. Powstały tam cywilizacje, które im obu zawdzięczały swą egzystencję. Spływając ze źródeł położonych w górach wschodniej Turcji, rzeki te nawadniają tysiące kilometrów żyznych równin, aż w końcu łączą się w pojedynczą drogę wodną, która znajduje ujście w Zatoce Perskiej. Ograniczają je od południowego zachodu pustynny, suchy Płaskowyż Syryjsko-Arabski, od północnego wschodu niegościnne pasma gór Antytaurusu i Zagrosu. Rzeki te to Eufrat i Tygrys, płynące przez starożytne ziemie Asyrii, Akadu i Sumeru prawie tymi samymi korytami od czterech tysięcy lat.

Region pomiędzy Tygrysem a Eufratem archeolodzy nazywają Mezopotamią, co w starożytnej grece oznaczało "pomiędzy rzekami". Region ten słusznie zwany jest kolebką naszej cywilizacji. Rzeki dostarczały równinom wodę, która je użyźniała. Obfitość roślinności przyciągała stada owiec i jeleni, one z kolei ściągały drapieżniki, wśród nich ludzi - myśliwych. Równiny Mezopotamii były rajskim ogrodem dla zbieraczy-myśliwych, magnesem przyciągającym plemiona koczowników.

Były one tak żyzne, że myślistwo i zbieractwo przekształciło się w końcu w efektywniejsze strategie zdobywania pożywienia. Znaleziska wykopane na północ od gór otaczających Żyzny Półksiężyc świadczą o tym, że około dziewięciu wieków przed naszą erą powstała rewolucyjna technologia: rolnictwo. Tuż po tym nastąpiły dwie zasadnicze zmiany w ludzkich wspólnotach, spowodowane potrzebą pozostania w jednym miejscu ze względu na uprawę oraz możliwością wyżywienia większych populacji. Ta kombinacja prowadziła do powstania miast; w Mezopotamii wciąż odkrywane są pozostałości najwcześniejszych wielkich miast-państw: Niniwy, Nimrudu, Uruku, Lagaszu, Eridu, Ur i przede wszystkim Babilonu z jego wiszącymi ogrodami i wieżą Babel. Tutaj, przed tysiącami lat, przejście na rolnictwo spowodowało powstanie zorganizowanych społeczeństw ludzkich z towarzyszącymi im atrybutami władzy, takimi jak rząd, biurokracja i wojsko. Pomiędzy rokiem 2000 a 500 p.n.e. nad brzegami Eufratu kwitła cywilizacja zwana teraz babilońską. Jej nazwa pochodzi od nazwy głównego miasta, ale w szerszym sensie dotyczy także kultury sumeryjskiej i akadyjskiej. Pierwsza znana wzmianka o Babilonie pojawiła się na glinianej tabliczce Sargona z Akadii, pochodzącej z około 2250 r. p.n.e., choć korzenie Babilończyków mogą sięgać nawet trzech tysięcy lat wstecz.

Niewiele wiemy o korzeniach "cywilizacji" - słowo to określa sposób zorganizowania ludzi w osiadłe społeczeństwa. Jednak wydaje się, że wiele elementów współczesnego świata pochodzi wprost od starożytnych Babilończyków. W szczególności byli oni doskonałymi astronomami i można im przypisać stworzenie dwunastu konstelacji Zodiaku, podział okręgu na 360 stopni, minuty na sześćdziesiąt sekund i godziny na sześćdziesiąt minut. Babilończycy potrzebowali tego systemu jednostek miary do obserwacji astronomicznych i dzięki temu stali się ekspertami w dziedzinie matematyki - służebnicy astronomii.

Uczyli się w szkołach matematyki. Tak jak my.

*

- Jaką dzisiaj mamy lekcję? - zapytał Nabu, kładąc obok siebie zawiniątko ze śniadaniem. Jego matka dbała, aby zawsze miał dużo chleba i mięsa - zwykle koziego. Czasami wkładała mu do zawiniątka ser, tak dla urozmaicenia.

- Matmę - odpowiedział posępnie jego przyjaciel Gamesz. - Dlaczego nie jest to prawo? Wolę się uczyć prawa.

Nabu, który uczył się bez wysiłku matematyki, nie mógł pojąć, dlaczego jego koledzy uważają matematykę za trudny przedmiot.

- Czy nie wydaje ci się, Gameszu, nudne to przepisywanie wszystkich tych formułek prawniczych i uczenie się ich na pamięć?

- Nie, to proste. Nie musisz przy tym myśleć.

- Dlatego wydaje mi się to takie nudne - odpowiedział przyjaciel - tymczasem matematyka...

- ... jest okropna - włączył się do rozmowy Humbaba, który przybył do szkoły skrybów jak zwykle spóźniony. - Powiedz Nabu, co ja mam z tym zrobić? - Wskazał ręką na zadanie domowe wyryte na glinianej tabliczce. - Mnożę liczbę przez siebie samą i dodaję jej podwojenie. W wyniku otrzymuję 24. Co to za liczba?

- Cztery - odpowiedział Nabu.

- Naprawdę? - wykrzyknął Gamesz.

- Tak, ja to wiem, ale w jaki sposób można ten wynik otrzymać? - zapytał Humbaba.

Nabu skrupulatnie zaczął wyjaśniać procedurę, którą nauczyciel matematyki pokazał im tydzień temu.

- Dodaj połowę z 2 do 24, otrzymasz 25. Wyciągnij z tego pierwiastek kwadratowy, a otrzymasz 5...

Gamesz zakłopotany uniósł w górę ręce.

- Nabu, ja dotąd nie rozumiem tych pierwiastków kwadratowych.

- Aha! - rzekł Nabu. - Teraz wszystko jasne! - Obaj jego przyjaciele popatrzyli na niego jak na wariata. - Gameszu, musisz najpierw poznać pierwiastki kwadratowe, a dopiero potem możesz się uczyć rozwiązywania równań.

- O obu nie mam pojęcia - mruknął Gamesz.

- Ale najpierw musisz przerobić pierwiastki kwadratowe. Musisz opanowywać materiał krok po kroku, tak jak to nam powtarza nauczyciel.

- Powtarza nam także, abyśmy nie brudzili naszej odzieży - zaprotestował Humbaba - ale mu i tak na to nie...

- To co innego, to...

- To niedobrze! - jęknął Gamesz. - Nigdy nie zostanę skrybą. Od ojca tak oberwę, że nie będę mógł usiąść, a matka spojrzy znowu na mnie tym swoim błagalnym wzrokiem i powie, że muszę się jeszcze bardziej postarać i pomyśleć o rodzinie. A ja nie mogę wbić sobie tej matematyki do głowy! Prawo mogę zapamiętać. To fajne. Na przykład coś takiego: "jeśli żona człowieka szlachetnie urodzonego zamorduje go z powodu innego mężczyzny, to będzie nabita na pal". To jest moim zdaniem warte nauki. A nie durne rzeczy w rodzaju pierwiastków kwadratowych. - Zamilkł na chwilę, by zaczerpnąć oddechu, i potrząsał rękami z emocji. - Równania, liczby - po co nam to?

- Bo są użyteczne - odparł Humbaba. - Pamiętasz prawo dotyczące obcinania uszu niewolnikom?

- Tak! - odrzekł Gamesz. - Kara za napaść.

- Gdy wybijesz oko zwykłemu człowiekowi - podpowiadał Humbaba - to musisz mu zapłacić...

- Jedną srebrną minę - odpowiedział Gamesz.

- A jeśli złamiesz niewolnikowi kość?

- Zapłacisz jego panu odszkodowanie w wysokości połowy jego wartości.

Teraz Humbaba zamknął swą pułapkę.

- A zatem jeśli niewolnik kosztuje sześćdziesiąt szekli, to musisz umieć policzyć, ile to jest połowa z sześćdziesięciu. Jeśli chcesz być prawnikiem, to musisz znać matematykę!

- To wynosi trzydzieści szekli - odrzekł natychmiast Gamesz.

- A widzisz! - zakrzyknął Nabu. - Umiesz liczyć!

- Do tego matematyka mi nie jest potrzebna, bo to jest oczywiste. - Przyszły prawnik wymachiwał rękami w powietrzu, starając się uzewnętrznić swoje uczucia. - Jeśli to dotyczy świata realnego, to tak, Nabu, umiem liczyć. Ale te wszystkie wydumane zagadnienia związane z pierwiastkami kwadratowymi sprawiają, że tracę tę umiejętność.

- Potrzebujesz pierwiastków kwadratowych przy pomiarach gruntu - odpowiedział Humbaba.

- Tak, ale ja nie zamierzam być poborcą podatkowym, mój ojciec chce, bym został skrybą - zauważył Gamesz. - Tak jak on. Po co mi do tego matematyka?

- Bo jest użyteczna - powtórzył Humbaba.

- A mnie się wydaje, że nie o to tutaj chodzi - cicho powiedział Nabu. - Myślę, że chodzi tu o prawdę i piękno, o otrzymywanie wyniku i przekonanie, że jest on poprawny. - Ale wygląd twarzy jego przyjaciół uzmysłowił mu, że ich nie przekonał.

- A według mnie chodzi o wynik i przekonanie się, że jest niepoprawny - westchnął Gamesz.

- Matematyka jest ważna, bo jest prawdziwa i piękna - obstawał przy swoim Nabu. - Pierwiastki kwadratowe mają zasadnicze znaczenie dla rozwiązywania równań. Może być z nich mniej pożytku, ale to nie ma znaczenia. Są ważne dla siebie samych.

Gamesz zamierzał powiedzieć coś niecenzuralnego, ale zauważył wchodzącego do klasy nauczyciela i nagłym atakiem kaszlu pokrył swoje zmieszanie.

- Dzień dobry, chłopcy - powiedział pogodnie nauczyciel.

- Dzień dobry panu.

- Pokażcie mi swoje zadania domowe.

Gamesz westchnął. Humbaba spoglądał zaniepokojony. Twarz Nabu pozostawała bez wyrazu. Pomyślał, że tak będzie lepiej.

*

Najbardziej zadziwiającą rzeczą w podsłuchanej przez nas rozmowie - oprócz tego, że jest całkowicie fikcyjna - jest to, że miała miejsce około 1100 r. p.n.e. w legendarnym mieście Babilonie.

Miałem na myśli, że mogła mieć miejsce, nie ma bowiem żadnych świadectw rozmowy pomiędzy trzema chłopcami o imionach Nabu, Gamesz i Humbaba. Jednak natura ludzka jest niezmienna od wieków i dlatego moja opowieść ma bardzo solidne, oparte na dowodach podstawy.

Wiemy zaskakująco dużo o babilońskiej cywilizacji, ponieważ istnieją o niej zapisy sporządzone na mokrej glinie za pomocą dziwnych znaków o klinowym kształcie - od tego kształtu pismo to nazwano klinowym. Gdy glina wyschła i utwardziła się w babilońskim słońcu, znaki te stawały się praktycznie niezniszczalne. Gdy zaś dom, w którym składowano takie tabliczki, spalił się, co często się zdarzało, ciepło przekształcało tabliczki w ceramikę, której trwałość była jeszcze większa.

W końcu wszystko pokrył piasek pustyni, co uczyniło zapis wiecznym. Z tego powodu Babilon stał się miejscem, gdzie narodziła się pisana historia. Także tutaj rozpoczęła się historia ludzkiego pojmowania symetrii - oraz jej ilościowa teoria, "analiza" symetrii, równie potężna jak analiza matematyczna Izaaka Newtona i Gottfrieda Leibniza. Bez wątpienia historia ta sięga głębiej w przeszłość, moglibyśmy ją poznać, ale tylko gdybyśmy mieli wehikuł czasu albo przynajmniej jeszcze starsze gliniane tabliczki. Z zapisanej historii możemy się dowiedzieć, że matematycy babilońscy dali ludzkości podstawy nauki o symetrii, co zasadniczo wpłynęło na postrzeganie świata fizycznego.

*

Matematyka opiera się na liczbach, ale nie jest do nich ograniczona. Babilończycy znali efektywny system liczbowy, który w przeciwieństwie do naszego systemu dziesiętnego (opartego na potęgach dziesięciu) był sześćdziesiętny (oparty na potęgach sześćdziesięciu). Znali trójkąty prostokątne i coś równoznacznego z twierdzeniem Pitagorasa - choć, w odróżnieniu do swych greckich następców, matematycy babilońscy nie starali się potwierdzać swych empirycznych odkryć logicznym dowodem. Babilończycy używali matematyki do wyższych celów: w astronomii, przypuszczalnie do rozwiązywania problemów rolnictwa i ze względów religijnych, ale także, z zupełnie prozaicznych powodów, w handlu i podczas poboru podatków. Ta dualna rola matematyki - odkrywanie porządku świata natury i wspomaganie ludzkiego życia - snuje się jak złota nić przez jej historię.

Najbardziej istotne w matematyce Babilończyków jest to, że nauczyli się, jak należy rozwiązywać równania.

Równania są matematycznym sposobem na znalezienie wartości nieznanej wielkości w sytuacji, gdy znamy poszlaki. "Oto pewne fakty dotyczące nieznanej liczby: odkryj, jaka to liczba". Równanie jest pewnym rodzajem układanki dotyczącym liczby. Nie wiemy, jaka jest liczba, ale wiemy o niej coś, co możemy wykorzystać. Naszym zadaniem jest rozwiązanie układanki przez odnalezienie nieznanej liczby. Może się wydawać, że zabawa ta została wywiedziona z geometrycznej koncepcji symetrii, ale w matematyce zawsze okazuje się, że pomysły dotyczące określonej idei rzucają światło na inne, bardzo odmienne zagadnienia. Ta wzajemna więź zagadnień jest intelektualną siłą matematyki. Dzięki temu też system liczbowy wynaleziony w celu komercyjnym pozwolił starożytnym uzyskiwać wiedzę o gwiazdach stałych i ruchach planet.

Zagadka może być łatwa: "Podwojona liczba daje 60, jakiej liczby szukamy?". Nie trzeba być genialnym, żeby się zorientować, że chodzi o liczbę 30. Może też być trudniejsza: "Mnożę liczbę przez siebie samą i dodaję 25: w rezultacie otrzymuję liczbę dziesięć razy większą od szukanej liczby. Jakiej liczby szukamy?". Metodą prób i błędów możemy dojść do wniosku, że jest to liczba 5 - ale metoda prób i błędów jest nieefektywna w przypadku rozwiązywania zagadki czy równania. Co będzie, gdy na przykład zamienimy 25 na 23? Albo na 26? Babilońscy matematycy gardzili metodą prób i błędów, ponieważ posiedli znacznie większy sekret. Znali metodę, standardową procedurę rozwiązywania równań. O ile wiemy, byli oni pierwszymi ludźmi, którzy uzmysłowili sobie, że takie techniki istnieją.

*

C.d. w pełnej wersji